C’est un fait, le petit Nicolas [1]
ou son cousin germain
 [2],
n’a toujours pas réussi à se coiffer sans faire d’épi. Et vous non plus d’ailleurs.

Pourquoi ?

La faute à un théorème, le théorème de la sphère chevelue,
déjà connu de Poincaré et de Brouwer, et dont
le tout récent prix Abel 2011, John Milnor, a donné
 [3]
une démonstration très élégante
 [4].

Le théorème de la sphère chevelue

Le théorème parle de champs de vecteurs sur la sphère. Un champ de vecteurs sur la sphère est la donnée, en tout point de la sphère,
d’un vecteur tangent, comme les cheveux sur un crâne, ou encore le
vent qui souffle à la surface de la Terre ...
Le théorème est vrai pour n’importe quelle sphère dans l’espace, mais ici on
va fixer le rayon égal à $1$.
A un point $x$ de cette sphère, on associe un vecteur $v(x)$
tangent à la sphère en $x$, comme sur la figure ci-dessous.

On ne
regarde pas n’importe quel champ de vecteurs sur la sphère mais ceux qui sont continus,
c’est-à-dire varient de façon raisonnable. Avec cette condition, si une suite de points $(x_n)$ sur la sphère
converge vers un point $x$, alors $v(x_n)$ converge aussi vers $v(x)$. De plus,
les champs de vecteurs considérés sont différentiables [5]. L’énoncé est alors le suivant

Théorème (de la sphère chevelue) : Tout champ de vecteurs
différentiable sur la
sphère s’annule quelque part.

Il y a donc, à la surface de la Terre toujours un endroit sans vent et il
y a toujours un épi quand on se coiffe.

Première étape de la démonstration

Nous procédons par l’absurde :
supposons qu’il existe un champ de vecteurs $v$ sur la sphère qui ne s’annule pas. On commence par remplacer ce champ de vecteurs par un champ
de vecteurs tel que pour tout $x$, la longueur de $v(x)$ vaut $1$ (on l’appelle alors
unitaire). En effet, il suffit de
remplacer $v(x)$ par $v(x)$ divisé par sa longueur. Le champ de vecteurs ainsi obtenu est
unitaire et garde les même propriétés que le champ de vecteurs de départ, il est
continu et différentiable. Nous voilà donc ramenés au cas d’un champ de vecteurs $v$ tel
que pour tout $x$, la longueur de $v(x)$ est égale à $1$.

L’idée de Milnor est d’utiliser ce champ de vecteurs pour déformer la couronne
sphérique (C) délimitée par les sphères de rayon $1/2$ et $1$. En quelque sorte, on va déformer
la couronne le long de ce champ de vecteurs.

Pour cela, on prolonge le champ de vecteurs $v$ à l’intérieur de la sphère, ce qu’on
appelle la boule,
privée de l’origine. Si $y$ est un point à l’intérieur de la boule
unité, on trace la droite $Oy$, elle coupe la sphère unité en un point
$x$. L’homothétie de centre $O$ qui envoie $x$ sur $y$, transforme le vecteur
$v(x)$ en un vecteur $v(y)$, qui est tangent à la sphère de centre $O$ passant par $y$.
De cette façon, à chaque point $y$ à l’intérieur de la boule unité différent de l’origine,
on a associé un vecteur $v(y)$ tangent à la sphère.
C’est la figure ci-dessous.

On considère maintenant
une déformation de la couronne sphérique (C), en rose dans la figure ci-dessous, pour $t$
petit. Si $x$
est un vecteur de longueur $1$, définissant donc un point de la sphère, on lui associe
le point
\[f_t(x)=x+tv(x).\]
Pour $t$ petit, $f_t(x)$ est un point proche de $x$. Pour $t=0$, notre
transformation $f_0$ vaut l’identité.

Un premier calcul de volume de la couronne déformée

En fait, pour $t$ petit, notre déformation $f_t$ possède
de bonnes propriétés de régularité et elle est bijective [6], i.e.
tout élément de $f_t(C)$ a un unique antécédent par $f_t$. Ces
propriétés ne sont pas très faciles à montrer et sont liées d’une part à celles de la sphère [7] et d’autre part au fait que
$f_t$ est proche de l’identité pour $t$ petit.
Un théorème
de changement de variables pour les intégrales [8] permet alors de calculer le volume $Vol(t) $
de la déformation par $f_t$ de couronne sphérique (C) pour $t$ petit. Comme la formule
définissant $f_t$ est un polynôme en $t$ (de degré $1$) le calcul [9] montre

pour $t$ petit, le volume $Vol(t)$ de la déformation par $f_t$ de la couronne sphérique de (C) est un polynôme en $t$ de degré $\leq 3$.
\[Vol(t)=at^3+bt^2+ct+d.\]

Un deuxième calcul du volume de la couronne déformée et fin de la démonstration

En réalité, on peut être encore plus précis sur ce qu’est cette déformation
de la couronne (C) en appliquant le théorème de Pythagore. Si $x$ est de longueur $1$,
comme $tv(x)$ est de longueur $|t|$ (la valeur absolue de $t$) et que $x$ et $tv(x)$
sont orthogonaux (voir la figure), la longueur de $f_t(x)$ est $\sqrt{1+t^2}.$ Par déformation par $f_t$ la sphère unité est envoyée dans la sphère de rayon $\sqrt{1+t^2}$.

Plus généralement, si $x$ est sur la sphère de
rayon $r$, $f_t(x)$ est sur la sphère de $r\sqrt{1+t^2}$. Milnor montre alors
que la déformation par $f_t$ de la sphère de rayon $r$ est toute la sphère de rayon
$r\sqrt{1+t^2}$. Cela nécessite un argument de topologie [10] et un
argument de calcul différentiel [11] pour
employer des termes techniques.
Autrement dit, la déformation par $f_t$ de (C) est la couronne sphérique délimitée par les sphères de rayon
$\sqrt{1+t^2}/2$ et $\sqrt{1+t^2}$.

On calcule le volume de cette couronne sphérique en prenant la différence du volume d’une boule de rayon
$\sqrt{1+t^2}$ et du volume d’une boule de rayon $\sqrt{1+t^2}/2$. Ainsi

\[Vol(t)=\frac{4}{3}\pi(1+t^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\pi(1+t^2)^{\frac{3}{2}},\]
soit

\[Vol(t)=\frac{7}{6}\pi(1+t^2)\sqrt{1+t^2}\]

... ce qui n’est pas un polynôme en la variable $t$, pour
$t$ petit !
Supposons que tel soit le cas, alors il existe un polynôme
$P(t)$ tel que $P(t)=(1+t^2)\sqrt{1+t^2}$ tel que
$P(t)^2=(1+t^2)^3$, pour $t$ petit.
Mais comme il y a une infinité de $t$ petits,
et que l’on compare deux polynômes, cette égalité
est en fait vérifiée pour tout $t$,
de sorte
que $P$ est de degré $3$. Toujours
à cause de cette relation, le terme constant de $P$
et le terme de degré $3$ de $P$ valent $1$. Ainsi
$P(t)=1+ut+vt^2+t^3$ où $u,v$ sont des constantes à déterminer. En développant, on voit que le terme
de degré $1$ de $P(t)^2$ est $2u$, et que le terme de degré $5$
de $P(t)^2$ est $2v$. Par identification, ces termes $u$ et $v$ doivent
donc être nuls. Finalement, si $(1+t^2)\sqrt{1+t^2}$ était un polynôme
$P(t)$, on aurait $P(t)=1+t^3$. Or
\[(1+t^3)^2=1+2t^3+t^6 \neq 1+3t^2+3t^4+t^6.\]
 [12]

Nous avons ainsi trouvé une contradiction et démontré le théorème.

Conclusion

Ce théorème permet de montrer que tout champ de vecteurs continu sur la sphère s’annule.

Ce théorème permet de montrer d’autres théorèmes importants de topologie, comme
ce théorème de Brouwer

Toute application continue de la boule dans elle-même possède un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe un point $x$ de la boule tel que $f(x)=x$,
(autrement dit $x$ est fixé par $f$).

L’idée est, étant donnée une telle application continue de la boule dans elle-même, de procéder par l’absurde. Si $f(x)\neq x$ pour tout point de la boule, on exhibe alors un champ de vecteurs tangents à la sphère qui ne
s’annule pas.

La recherche est encore très active en mathématiques pour comprendre pourquoi
le personnage de Tintin a une houppe.

Je tiens à remercier ici M. Bernard Raymond qui nous a expliqué ce théorème
de la sphère chevelue en maths
spé au lycée Faidherbe de Lille [13]. Un très grand moment, de quoi, en tout cas, susciter des vocations.