Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

Piste noire Le 21 mai 2011  - Ecrit par  Christine Huyghe Voir les commentaires (14)

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C’est un fait, le petit Nicolas [1]
ou son cousin germain
 [2],
n’a toujours pas réussi à se coiffer sans faire d’épi. Et vous non plus d’ailleurs.

Pourquoi ?

La faute à un théorème, le théorème de la sphère chevelue,
déjà connu de Poincaré et de Brouwer, et dont
le tout récent prix Abel 2011, John Milnor, a donné
 [3]
une démonstration très élégante
 [4].

Le théorème de la sphère chevelue

Le théorème parle de champs de vecteurs sur la sphère. Un champ de vecteurs sur la sphère est la donnée, en tout point de la sphère,
d’un vecteur tangent, comme les cheveux sur un crâne, ou encore le
vent qui souffle à la surface de la Terre ...
Le théorème est vrai pour n’importe quelle sphère dans l’espace, mais ici on
va fixer le rayon égal à $1$.
A un point $x$ de cette sphère, on associe un vecteur $v(x)$
tangent à la sphère en $x$, comme sur la figure ci-dessous.

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On ne
regarde pas n’importe quel champ de vecteurs sur la sphère mais ceux qui sont continus,
c’est-à-dire varient de façon raisonnable. Avec cette condition, si une suite de points $(x_n)$ sur la sphère
converge vers un point $x$, alors $v(x_n)$ converge aussi vers $v(x)$. De plus,
les champs de vecteurs considérés sont différentiables [5]. L’énoncé est alors le suivant

Théorème (de la sphère chevelue) : Tout champ de vecteurs
différentiable sur la
sphère s’annule quelque part.

Il y a donc, à la surface de la Terre toujours un endroit sans vent et il
y a toujours un épi quand on se coiffe.

Première étape de la démonstration

Nous procédons par l’absurde :
supposons qu’il existe un champ de vecteurs $v$ sur la sphère qui ne s’annule pas. On commence par remplacer ce champ de vecteurs par un champ
de vecteurs tel que pour tout $x$, la longueur de $v(x)$ vaut $1$ (on l’appelle alors
unitaire). En effet, il suffit de
remplacer $v(x)$ par $v(x)$ divisé par sa longueur. Le champ de vecteurs ainsi obtenu est
unitaire et garde les même propriétés que le champ de vecteurs de départ, il est
continu et différentiable. Nous voilà donc ramenés au cas d’un champ de vecteurs $v$ tel
que pour tout $x$, la longueur de $v(x)$ est égale à $1$.

L’idée de Milnor est d’utiliser ce champ de vecteurs pour déformer la couronne
sphérique (C) délimitée par les sphères de rayon $1/2$ et $1$. En quelque sorte, on va déformer
la couronne le long de ce champ de vecteurs.

Pour cela, on prolonge le champ de vecteurs $v$ à l’intérieur de la sphère, ce qu’on
appelle la boule,
privée de l’origine. Si $y$ est un point à l’intérieur de la boule
unité, on trace la droite $Oy$, elle coupe la sphère unité en un point
$x$. L’homothétie de centre $O$ qui envoie $x$ sur $y$, transforme le vecteur
$v(x)$ en un vecteur $v(y)$, qui est tangent à la sphère de centre $O$ passant par $y$.
De cette façon, à chaque point $y$ à l’intérieur de la boule unité différent de l’origine,
on a associé un vecteur $v(y)$ tangent à la sphère.
C’est la figure ci-dessous.

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On considère maintenant
une déformation de la couronne sphérique (C), en rose dans la figure ci-dessous, pour $t$
petit. Si $x$
est un vecteur de longueur $1$, définissant donc un point de la sphère, on lui associe
le point
\[f_t(x)=x+tv(x).\]
Pour $t$ petit, $f_t(x)$ est un point proche de $x$. Pour $t=0$, notre
transformation $f_0$ vaut l’identité.

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Un premier calcul de volume de la couronne déformée

En fait, pour $t$ petit, notre déformation $f_t$ possède
de bonnes propriétés de régularité et elle est bijective [6], i.e.
tout élément de $f_t(C)$ a un unique antécédent par $f_t$. Ces
propriétés ne sont pas très faciles à montrer et sont liées d’une part à celles de la sphère [7] et d’autre part au fait que
$f_t$ est proche de l’identité pour $t$ petit.
Un théorème
de changement de variables pour les intégrales [8] permet alors de calculer le volume $Vol(t) $
de la déformation par $f_t$ de couronne sphérique (C) pour $t$ petit. Comme la formule
définissant $f_t$ est un polynôme en $t$ (de degré $1$) le calcul [9] montre

pour $t$ petit, le volume $Vol(t)$ de la déformation par $f_t$ de la couronne sphérique de (C) est un polynôme en $t$ de degré $\leq 3$.
\[Vol(t)=at^3+bt^2+ct+d.\]

Un deuxième calcul du volume de la couronne déformée et fin de la démonstration

En réalité, on peut être encore plus précis sur ce qu’est cette déformation
de la couronne (C) en appliquant le théorème de Pythagore. Si $x$ est de longueur $1$,
comme $tv(x)$ est de longueur $|t|$ (la valeur absolue de $t$) et que $x$ et $tv(x)$
sont orthogonaux (voir la figure), la longueur de $f_t(x)$ est $\sqrt{1+t^2}.$ Par déformation par $f_t$ la sphère unité est envoyée dans la sphère de rayon $\sqrt{1+t^2}$.

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Plus généralement, si $x$ est sur la sphère de
rayon $r$, $f_t(x)$ est sur la sphère de $r\sqrt{1+t^2}$. Milnor montre alors
que la déformation par $f_t$ de la sphère de rayon $r$ est toute la sphère de rayon
$r\sqrt{1+t^2}$. Cela nécessite un argument de topologie [10] et un
argument de calcul différentiel [11] pour
employer des termes techniques.
Autrement dit, la déformation par $f_t$ de (C) est la couronne sphérique délimitée par les sphères de rayon
$\sqrt{1+t^2}/2$ et $\sqrt{1+t^2}$.

On calcule le volume de cette couronne sphérique en prenant la différence du volume d’une boule de rayon
$\sqrt{1+t^2}$ et du volume d’une boule de rayon $\sqrt{1+t^2}/2$. Ainsi

\[Vol(t)=\frac{4}{3}\pi(1+t^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}\pi(1+t^2)^{\frac{3}{2}},\]
soit

\[Vol(t)=\frac{7}{6}\pi(1+t^2)\sqrt{1+t^2}\]

... ce qui n’est pas un polynôme en la variable $t$, pour
$t$ petit !
Supposons que tel soit le cas, alors il existe un polynôme
$P(t)$ tel que $P(t)=(1+t^2)\sqrt{1+t^2}$ tel que
$P(t)^2=(1+t^2)^3$, pour $t$ petit.
Mais comme il y a une infinité de $t$ petits,
et que l’on compare deux polynômes, cette égalité
est en fait vérifiée pour tout $t$,
de sorte
que $P$ est de degré $3$. Toujours
à cause de cette relation, le terme constant de $P$
et le terme de degré $3$ de $P$ valent $1$. Ainsi
$P(t)=1+ut+vt^2+t^3$ où $u,v$ sont des constantes à déterminer. En développant, on voit que le terme
de degré $1$ de $P(t)^2$ est $2u$, et que le terme de degré $5$
de $P(t)^2$ est $2v$. Par identification, ces termes $u$ et $v$ doivent
donc être nuls. Finalement, si $(1+t^2)\sqrt{1+t^2}$ était un polynôme
$P(t)$, on aurait $P(t)=1+t^3$. Or
\[(1+t^3)^2=1+2t^3+t^6 \neq 1+3t^2+3t^4+t^6.\]
 [12]

Nous avons ainsi trouvé une contradiction et démontré le théorème.

Conclusion

Ce théorème permet de montrer que tout champ de vecteurs continu sur la sphère s’annule.

Ce théorème permet de montrer d’autres théorèmes importants de topologie, comme
ce théorème de Brouwer

Toute application continue de la boule dans elle-même possède un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe un point $x$ de la boule tel que $f(x)=x$,
(autrement dit $x$ est fixé par $f$).

L’idée est, étant donnée une telle application continue de la boule dans elle-même, de procéder par l’absurde. Si $f(x)\neq x$ pour tout point de la boule, on exhibe alors un champ de vecteurs tangents à la sphère qui ne
s’annule pas.

La recherche est encore très active en mathématiques pour comprendre pourquoi
le personnage de Tintin a une houppe.

Je tiens à remercier ici M. Bernard Raymond qui nous a expliqué ce théorème
de la sphère chevelue en maths
spé au lycée Faidherbe de Lille [13]. Un très grand moment, de quoi, en tout cas, susciter des vocations.

Post-scriptum :

L’auteur remercie M. François Raymond des informations sur son frère, citées dans cet article.

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs suivants : Guillaume Pontier,
Emeric Bouin,
Paul Laurain
et Jacqueline Struffi.

Article édité par Christine Huyghe

Notes

[1Personnage créé par René Gosciny et Jean-Jacques Sempé.

[2dessiné ici par l’auteur de cet article en imitant pâlement les dessins de Jean-Jacques Sempé.

[4Pour un panorama (en anglais) des travaux de Milnor, on pourra consulter
ce compte-rendu de Timothy Gowers.

[5dérivables au sens des fonctions
de plusieurs variables, ce qui est un peu technique à expliquer et que nous ne ferons pas
ici.

[6De façon précise c’est un difféomorphisme de
la couronne sphérique (C) sur son image, pour $t$ petit.

[7qui est compacte.

[8détaillé ici.

[9qui fait intervenir le
déterminant jacobien de $f_t$, qui est un polynôme de degré $3$, pour les lecteurs
connaissant le calcul différentiel.

[10La sphère est compacte et
connexe.

[11La déformation $f_t$ est une application ouverte.

[12On peut aussi constater que les
racines complexes de $(1+t^2)^3$ sont $i$ et $-i$ et sont d’ordre
impair égal à $3$.

[13M. Bernard Raymond, décédé en 1997, y fut professeur
de 1978 à 1991.

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Pour citer cet article :

Christine Huyghe — «Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 21 mai 2011 à 10:20, par amic

    Jolie démonstration.

    Il y a juste une petite confusion entre boule et sphère dans la conclusion…

    Répondre à ce message
    • Théorème de point fixe

      le 26 novembre 2011 à 13:33, par Marc JAMBON

      Dans le théorème de point fixe du à Brouwer, je ne vois pas la correction, il devrait y avoir deux fois le mot boule ou exclusif deux fois le mot sphère.

      Répondre à ce message
  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 21 mai 2011 à 10:40, par Christine Huyghe

    Merci, c’est corrigé. Cordialement, C. Huyghe

    Répondre à ce message
  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 22 mai 2011 à 16:59, par Christophe Boilley

    « Il y a toujours un épi quand on se coiffe » si on souhaite qu’au bord de sa coiffure, les cheveux tombent vers le bas. En effet, un champ de vecteur différentiable sur la demi-sphère normal en son bord se prolonge par symétrie en un champ de vecteur différentiable sur la sphère (au besoin en redonnant un petit coup de peigne le long de ce bord). Mais il existe des champs différentiables ne s’annulant pas sur une demi-sphère, ce qui permet de se coiffer sans épi en brossant par exemple ses cheveux vers l’arrière.

    Répondre à ce message
    • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

      le 25 mai 2011 à 09:42, par Christine Huyghe

      Effectivement, merci pour ces précisions : je n’ai pas détaillé ce point.

      Cordialement.

      Répondre à ce message
  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 23 mai 2011 à 09:52, par François Brunault

    Merci pour cette démonstraion ! Je trouve qu’elle illustre bien le fait que pour démontrer un résultat dans un univers donné (ici la sphère), il est souvent utile de s’en « extraire » et de travailler dans un univers plus grand (ici l’espace à 3 dimensions).

    Répondre à ce message
  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 26 mai 2011 à 17:14, par Ilies Zidane

    Il y a une autre conséquence à ce théorème qui ne cesse de m’étonner : Pour toute fonction continue de la sphère S2 à valeurs dans R2 il existe un point de la sphère qui a même image que son antipode !
    En particulier, sur Terre il y toujours un point où la température et la pression sont les mêmes qu’au point diamétralement opposé !

    A noter également que le théorème présenté est vraie en toutes dimensions de la sphère sauf 0,1,3 et 7 !

    Répondre à ce message
    • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

      le 27 mai 2011 à 02:16, par Christine Huyghe

      Cher Ilies Zidane

      Je ne pense pas que ce que vous présentez comme une conséquence sur les fonctions continues de la sphère S^2 à valeurs dans R^2, en soit une (même si l’énoncé, le théorème de Borsuk Ulam, que vous donnez, est vrai).

      En revanche, ce que vous dites sur l’extension du théorème de
      la sphère chevelue est faux : le théorème s’étend aux sphères de dimension paire (donc aux sphères de R^3, R^5, ... R^(2n+1)). La démonstration est la même que pour la sphère dans R^3, le terme (1+t^2)^(1/2) étant alors toujours à une puissance impaire, dans la formule de calcul du volume.

      Codialement.

      Répondre à ce message
      • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

        le 4 juin 2011 à 15:24, par Ilies Zidane

        Effectivement j’ai confondu, le thorème de Borsuk Ulam résulte de la non trivialité du groupe fondamentale du cercle.

        Par contre, je parlais bien des sphères parallélisables en ayant en tête une autre preuve que celle ci.

        Répondre à ce message
        • Sphères parallélisables

          le 15 juin 2011 à 16:21, par Michèle Audin

          je parlais bien des sphères parallélisables

          Ouh là là ! ne faisons-nous pas monter un peu trop le niveau ?

          Dire qu’une sphère n’est pas parallélisable, ce n’est pas dire qu’elle a un champ de vecteurs tangent qui ne s’annule pas. La démonstration donnée ici permet de montrer, comme l’a dit l’auteur, que sur une sphère de dimension paire, tout champ de vecteurs doit s’annuler quelque part. Rien de plus.

          Les sphères parallélisables sont celles de dimensions 0, 1, 3 et 7 (c’est un très difficile théorème d’Adams). Mais toutes les sphères de dimension impaire possèdent des champs de vecteurs qui ne s’annulent pas (et ça, c’est très facile à faire...).

          Répondre à ce message
  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 6 juin 2011 à 22:37, par Gilles

    Il est facile de peigner une sphère en laissant 2 épis (méridiens).
    Pouvez-vous donner un exemple où seulement 1 épi reste ? Et pour 3 épis ?
    Existent-ils des valeurs n pour lesquels il est impossible de peigner la sphère en laissant juste n épis ?

    Répondre à ce message
    • Exemples de champ de vecteurs s’annulant fois sur la sphère

      le 19 juin 2011 à 22:23, par Christine Huyghe

      Oui, pour tout $n$, on peut trouver un champ de vecteurs s’annulant $n$ fois sur la sphère. Voici un exemple avec $n=1$.

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      exemple 1 de champ de vecteurs
      Un champ de vecteurs s’annulant une seule fois sur la sphère
      Répondre à ce message
      • Exemples de champ de vecteurs s’annulant fois sur la sphère

        le 19 juin 2011 à 22:39, par Christine Huyghe

        Et voici un autre dessin de champ de vecteurs s’annulant
        plusieurs fois sur la sphère (merci à Michèle Audin pour
        ces dessins).

        Répondre à ce message
  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 4 décembre 2011 à 08:25, par Marc JAMBON

    La seule correction possible pour le théorème de Brouwer est d’écrire boule les deux fois.
    Ci-dessous le nouvel énoncé corrigé.

    Toute application continue de la boule dans elle-même possède un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe un point x de la boule tel que f(x) = x, (autrement dit x est fixe par f).

    Le théorème est nécessairement faux pour la shère (superficielle), en n’importe quelle dimension, car une homothéthie centrée au centre de la sphère de rapport – 1 est une application continue de la sphère (superficielle) dans elle-même et n’a pas de point fixe.

    Répondre à ce message

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