Sciences cognitives et mathématiques

Piste verte Le 16 mai 2012  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires (3)

La semaine des mathématiques a été l’occasion d’une conférence nationale sur l’enseignement des mathématiques à l’école primaire et au collège qui s’est tenue le 13 mars 2012 à l’École normale supérieure de Lyon.

Cette conférence fut organisée par l’Institut Français de l’Éducation à la demande de la DGESCO, avec comme principaux objectifs :

  • dresser un bilan objectif de l’état des lieux et des besoins de l’enseignement des mathématiques en France aujourd’hui ;
  • apporter, souligner des pistes réalistes pour aboutir à un meilleur apprentissage des mathématiques à l’école obligatoire ;
  • contribuer à la formation des formateurs et des cadres de l’enseignement ;
  • préciser des sujets de recherche sur les questions vives faisant débat ou sur des questions encore inexplorées qu’il est nécessaire d’instruire.

Le thème retenu pour cette première conférence nationale fut celui de

Mesures, nombres, raisonnements et calculs de la maternelle à la fin du collège.

En vrac, les thèmes abordés furent les suivants. Quelles mathématiques à l’école maternelle ? Quels moyens pour les faire vivre ? En neurosciences, que sait-on de l’intuition en mathématiques et des démarches algorithmiques ? Quels types de résultats fournissent les enquêtes de la DEPP et les évaluations nationales ? Comment enseigne-t-on les mathématiques ailleurs ? Deux exemples : la Chine et l’Italie. Grandeurs et mesures. Comment enseigner et faire comprendre la numération décimale de position ? Le calcul, de l’école au collège, vers le calcul algébrique. Quels problèmes poser pour développer les compétences nouvelles : définir, représenter, raisonner ? Comment entrer dans le travail algébrique : variables et fonctions ? Quels résultats de la recherche en didactique des mathématiques pour le système d’enseignement ?

Une table ronde fut également organisée pour aborder les questions suivantes : quel enjeu pour l’enseignement des mathématiques à l’école du socle ? Comment améliorer le rapport des élèves aux mathématiques ? Quelles questions poser à la recherche sur l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques ?

Sur le site EducMath, on pourra trouver l’ensemble des contributions à cette journée.

L’une des interventions [1] que j’ai particulièrement appréciée fut celle de Stanislas Dehaene, professeur au Collège de France, sur le thème de l’intuition en mathématiques et les démarches algorithmiques du point de vue des neurosciences. Je voudrais reprendre ici quelques-uns des points soulevés de neuroéducation (qui est l’étude du lien entre l’éducation et l’organisation du cerveau du jeune enfant) par Dehaene dans sa conférence-vidéo. La suite de ce café est donc entièrement reprise de sa conférence et rédigée dans un style « prise de notes ».

JPEG - 13.1 ko

Première idée : les enseignants et chercheurs en sciences cognitives doivent travailler ensemble car il est intéressant pour les éducateurs d’avoir une idée du cerveau et du fonctionnement psychologique de l’enfant en train d’apprendre. La recherche dans le domaine des mathématiques a beaucoup avancé pour ce qui est des apprentissages précoces. Ces recherches portent surtout sur le nombre mais aussi la géométrie, et également sur les compétences transversales.

Le nombre

Concernant le sens du nombre, les compétences des enfants dans ce domaine ont été considérablement sous-estimées [2]. La vision consistant à partir de zéro pour construire les mathématiques de façon axiomatique n’est pas du tout adaptée. L’enfant, dès la première année de sa vie, a des intuitions mathématiques. Des intuitions concernant en particulier le nombre. Des expériences montrent qu’un bébé de quelques jours seulement a déjà des idées sur le nombre approximatif d’un ensemble d’objets et voit que trois objets, ce n’est pas la même chose que cinq objets.

Les mathématiques ne sont pas des constructions arbitraires, symboliques et extrêmement abstraites : elles sont issues de notre cerveau dans un monde qui a des régularités intéressantes. La régularité du nombre, de l’espace, la nécessité d’avoir des trajectoires optimales, de savoir combien il y a de congénères autour de nous ont conduit notre cerveau à internaliser des représentations mathématiques. Notre cerveau contient des représentations du nombre, de l’espace, du temps, de la logique, des probabilités et de nombreuses espèces animales partagent ce bagage. On peut ainsi parler de protomathématiques.

Les très jeunes enfants ont déjà la notion que l’espace, le temps, le nombre sont des grandeurs quantitatives qui ont des analogies entre elles. Très tôt, est ressentie la notion qu’un grand nombre est analogue à une grande longueur ou à une grande durée. Ça vient du fait que dans toutes les langues, on apprend les termes de « petit » et « grand » qui s’appliquent à tous ces continuums. Le sens des grandeurs est là mais le fait qu’un nombre permette de mesurer une grandeur n’est pas là.

L’école doit se servir de ce fondement d’intuition ; les enfants ont des intuitions très tôt et il faut capitaliser là-dessus. Un cours de mathématiques qui se contenterait d’une approche formelle complètement détachée de l’intuition n’a probablement aucun sens.

JPEG - 11.6 ko

Peut-on développer l’intuition et comment s’en servir ?

Ce sens des nombres qui existe précocement est susceptible de se développer et d’être entraîné. La précision de ce sens des nombres s’améliore avec l’âge puisqu’un jeune enfant va distinguer trois objets de douze, mais pas forcément de quatre ou six : apprendre à compter ou jouer à des jeux numériques peuvent y aider. Le sens du nombre précoce joue un rôle dans les apprentissages mathématiques ultérieurs.

Des expériences montrent que des enfants en maternelle sont déjà capables de faire des approximations sur des grands nombres et de les combiner pour faire des additions, des soustractions, des comparaisons [3]. Si le système intuitif n’est pas parfait au départ et doit encore se développer, c’est quand même là une fondation pour les mathématiques.

JPEG - 7.5 ko

Les transformations du système intuitif ?

Le système intuitif se transforme d’abord en acquérant un sens exact des nombres. La capacité de compter de manière exacte est une acquisition culturelle de l’humanité, une invention. Certains peuples n’ont pas encore inventé le comptage et ne peuvent pas faire la différence entre neuf et dix. Cette notion de comptage apporte la notion d’une linéarité dans l’espace des nombres, c’est-à-dire qu’il y a la même distance entre neuf et dix qu’entre un et deux. Ce qui n’est pas du tout évident au départ car, d’un point de vue concret, neuf et dix c’est presque la même chose. La représentation des nombres sur une ligne et cette correspondance entre nombre et espace est quelque chose d’extrêmement important pour le développement numérique de l’enfant.

Le calcul exact se développe sur la base de représentations nouvelles qui appartiennent au langage et à l’écrit. Des mots et des symboles pour les nombres. Le système de « calcul exact » dans le cerveau d’un adulte, c’est à la fois la représentation mentale des quantités approximatives et des algorithmes fondés sur les symboles du langage pour calculer.

L’espace

Bien qu’encore moins développées, les recherches dans le domaine de la géométrie montrent que les enfants ont un sens logarithmique des nombres : ils pensent que neuf et dix sont plus proches que un et deux. Concevoir les nombres régulièrement espacés sur une ligne est un grand changement mental, comme une révolution mentale, un changement théorique qui se produit et qui est encore mal compris.

Certaines intuitions précoces sont amenées à se développer par le biais de cette métaphore de la ligne numérique. D’où un rôle particulier à donner dans les classes maternelles sur les opérations de mesure, de mise en correspondance du nombre et de l’espace. Des recherches ont montré que certains jeux de comptage améliorent les compétences mathématiques des enfants plus tard à l’école.

Une sorte de « raisonnement spatial » existe chez le jeune enfant. Des expériences [4] montrent que les enfants ont une intuition spatiale, géométrique. On a de bonnes raisons de penser que c’est de là que viennent les concepts de base des triangles, des parallèles et de la géométrie euclidienne.

JPEG - 9.2 ko

Un raisonnement statistique intuitif et des compétences transversales

Le cerveau de l’enfant est également extrêmement compétent pour l’apprentissage statistique. Le sens des statistiques fait partie de notre héritage. Le cerveau de l’enfant est comme un algorithme d’apprentissage qui compile des statistiques sur le monde extérieur et qui en extrait des représentations à un niveau hiérarchique [5].

L’enfant est adapté à l’extraction d’information de problèmes concrets. C’est pour ça qu’on a évolué, dans un monde concret où il y a des ensembles qui ont des régularités. D’où la nécessité d’une pédagogie du concret au départ en mathématiques. Pédagogie dans laquelle des objets se combinent à l’aide de jeux de construction, de pliages : grâce à l’éducateur, l’enfant va en extraire des compétences abstraites.

L’algorithme d’apprentissage fonctionne mieux quand l’enfant est actif plutôt que lorsqu’il subit un cours magistral. Deux facteurs essentiels : le plaisir et l’attention. Ce sont des modulateurs très forts de l’apprentissage. Si l’enfant prend du plaisir à pratiquer une activité, il apprend très vite. Ce sont là des règles d’apprentissage universelles pour le cerveau.

La curiosité fait peut-être elle aussi partie de cet algorithme d’apprentissage. Dans un monde où il y a énormément de choses à apprendre :

  • certaines ne sont pas intéressantes car on les connait déjà ;
  • d’autres qu’on ne connait pas semblent tellement complexes ou désorganisées qu’on se sent incapable de s’y intéresser ;
  • d’autres enfin semblent facilement et rapidement assimilables.

La curiosité peut servir d’orientation vers ces zones d’apprentissage rapide.

JPEG - 4.3 ko

Les différences individuelles

La recherche montre qu’il y a de grandes structures cérébrales communes à l’ensemble de l’humanité. D’où l’idée d’une architecture commune du cerveau, y compris dans des domaines inattendus comme la lecture. Ce sont les mêmes structures cérébrales mises en jeu dans l’apprentissage du français, du chinois ou de l’hébreu. Il y a par contre des variations individuelles puisque par exemple tous les enfants n’ont pas les mêmes capacités de discrimination des nombres, certains étant plus précis que d’autres. On ne sait pas si ces différences sont présentes à la naissance mais on sait qu’elles sont influençables par l’environnement.

Il est vraisemblable qu’il n’y ait pas autant de différences entre individus qu’on ne le pense. Un travail récent démonte par exemple l’idée que certaines personnes sont visuelles et d’autres auditives : il n’y a pas vraiment de preuve incontestable de cette idée.

Conclusions

  • Tout enfant a vocation à aimer les mathématiques car nous avons tous ces représentations mentales qui sont motivantes et qui nous permettent d’avoir des intuitions en mathématiques. Certains enfants vont les développer ou non, mais au départ elles sont là.
  • Nous devons piquer la curiosité des enfants. Nous devons absolument les motiver par des situations concrètes. Il faut que l’Éducation Nationale propose aux enseignants des matériels intéressants non pas pour enseigner un point très précis mais pour fournir un environnement de classe qui est enrichissant pour l’enfant. En neurosciences fondamentales, on montre qu’un environnement enrichi pour l’enfant conduit à un cerveau beaucoup plus développé. Il faut permettre à l’enfant d’aller jouer avec des objets mathématiques et progressivement augmenter la difficulté.
  • On sous-estime la compétence des enfants en mathématiques. On est sur cette vision très constructiviste dans laquelle on pense qu’il faut passer par le B-A-BA pour aller vers le haut. Or les enfants ont des intuitions fortes dans des domaines où on ne les attend pas, par exemple dans le domaine statistique. Il faut que les défis proposés en classe soient à la hauteur de leur compétence et ne pas hésiter à leur proposer des choses difficiles.
  • En mathématiques particulièrement, il faut faire réfléchir les enfants, les laisser se transmettre entre eux ce qu’ils ont compris. C’est à eux de recréer un savoir mathématique avec l’aide des éducateurs sur la base d’intuitions qu’ils ont dès le départ.
  • Enfin, il faut continuer à expérimenter en classe car on ne sait pas encore exactement ce qui marche le mieux et ce qui marche moins bien.
JPEG - 10.1 ko

Pour alimenter le débat, je signale un texte de Rémy Brissiaud qui a été publié sur le site du café pédagogique.

PDF - 86.9 ko
Le nombre à l’école maternelle : des changements en vue, mais dans quel sens ?
Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Olivier,
Julien Melleray et
Antonin Guilloux.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1En fait, ce fut une intervention-vidéo que vous pouvez télécharger en suivant ce lien.

[2On pourra se reporter avec intérêt au cours Les fondements cognitifs de l’arithmétique élémentaire de Stanislas Dehaene.

[3Voir les travaux d’Elizabeth Spelke.

[4Là encore, voir les travaux d’Elizabeth Spelke, comme par exemple ceux-ci.

[5Stanislas Dehaene fait cette année son cours au Collège de France sur ce thème de l’inférence bayésienne.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Sciences cognitives et mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - http://www.mfr-saintbarthelemy.org/page-170-parcours-d-eleves-les-eleves-de-bepa-1ere-annee.html
img_7813 - http://www.lamaternelle74.fr/albums/albums_pour_la_rentree/photos/43453112-a__l_ecole_maternelle.html
img_7822 - http://maternellecolor.free.fr/Index.html
img_7825 - http://www.emploiparlonsnet.fr/les-directs/l-explosion-statistique-du-sous-emploi&all
img_7827 - http://elfydia.wordpress.com/2011/08/29/graphisme-des-nombres/
img_7828 - http://themamaternelle.free.fr/
img_7829 - http://aucune.conspiration.juste.la.verite.over-blog.com/article-google-earth-geometrie-fm-rome-italie-video-jabamiah-65316064.html

Commentaire sur l'article

  • Sciences cognitives et mathématiques

    le 21 mai 2012 à 23:50, par Jérôme Buzzi

    Ce compte-rendu détaillé est très intéressant. Les sciences cognitives soulèvent souvent des questions passionnantes, mettent à jour des faits surprenants, proposent des explications fascinantes, et parfois... fluctuantes.

    Je me réjouis donc, en tant que parent, de la conclusion selon laquelle « il faut continuer à expérimenter en classe ». Combien de « découvertes » ont-elles entraîné ou du moins justifié des catastrophes éducatives ou sociales ? La modestie, ou en tout cas la connaissance de ses limites, me semble le début de la sagesse : tout d’abord, ne pas nuire.

    A propos de modestie, pourquoi toujours parler de mathématiques lorsqu’il s’agit de calculs comme si c’était là une activité trop subalterne.

    Répondre à ce message
  • C’est quoi les maths ?

    le 28 mai 2012 à 19:07, par François Sauvageot

    Bonjour,

    et merci à Aurélien pour cet article.

    Je pense moi aussi que le calcul est une activité importante et non subalterne, et qui fait défaut très souvent y compris après le bac dans les filières scientifiques. Néanmoins, même s’il faut se méfier d’un certain pédantisme, je vois au moins deux raisons d’appeler mathématiques ce dont il est question dans l’article :

    • d’une part, on n’y parle pas que d’activités numériques (et il est important que les maths ne soient pas réduites à la science du nombre)
    • d’autre part, il est important que les mathématicien(ne)s pensent aux mathématiques de l’enseignement primaire (maternelle comprise) comme à des mathématiques et non pas comme à des activités subalternes, justement.

    Il y a encore trop peu de mathématicien(ne)s qui réfléchissent aux mathématiques d’école ou qui connaissent les travaux de Jean Piaget, Michèle Artigue, François Boule, Catherine Houdement, Marie-Jeanne Perrin, Guy Brousseau, Rémi Brissiaud, Roland Charnay, Viviane Durand-Guerrier, le groupe ERMEL ...

    Pour moi la question fondamentale est de pouvoir donner du temps aux personnes qui sont engagées dans l’action d’enseigner pour partager leurs pratiques, échanger et prendre du recul, bref de favoriser ses rencontres : entre enseignant(e)s de différents niveaux, de différentes disciplines, opérant dans des milieux différents (quant au public, mais aussi quant aux méthodes choisies de façon institutionnelles - Freinet, Montessori, Steiner etc.).

    J’adresse donc la question de la formation continue, totalement sinistrée en France, et de la reconnaissance de ces activités.

    La semaine des maths a été annoncée à la dernière minute et je n’ai personnellement vu aucun moyen pour lui donner vie concrètement dans mon enseignement, ni dans mon lycée. Le colloque de Lyon n’a pas vraiment fait intervenir d’enseignant(e)s. Qui a pu y aller ? Je ne sais pas. Pas moi en tout cas, et pourtant j’étais très intéressé.

    Pourquoi tant d’obstacles pour aller à ce colloque ?
    Peut-être justement parce que trop de gens considèrent qu’on n’y parle pas de maths ?

    François Sauvageot.

    Répondre à ce message
    • C’est quoi les maths ?

      le 2 juin 2012 à 12:49, par Jérôme Buzzi

      Je suis bien d’accord sur l’importance du calcul : importance pratique, pédagogique et théorique. Mais c’est pour moi une raison de plus de l’appeler par son nom.

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM