Sculptures du chaos

Piste noire Le 16 mai 2010  - Ecrit par  Jos Leys, Safieddine Bouali Voir les commentaires (1)

L’image que nous inspire le terme « chaos » est celle d’un désordre total, indébrouillable, incompréhensible. Bien que d’apparence simple, certains modèles mathématiques peuvent donner naissance à de telles dynamiques. Avec en plus une propriété remarquable : la représentation graphique d’une telle dynamique dessine un objet mathématique tout à fait inattendu qu’on appelle un « attracteur étrange ».

Pour comprendre la nature d’un mouvement, l’un des premiers réflexes d’un scientifique est d’essayer de reconnaître une évolution qu’il connaît bien ou, plus modestement, de dégager quelques propriétés (éventuellement qualitatives). Dans le meilleur des cas, on en tire une modélisation mathématique à l’aide de fonctions usuelles et il devient raisonnable d’espérer pouvoir prédire la dynamique du mouvement dans le futur.

Mais que faire lorsque le mouvement est tellement irrégulier qu’aucune propriété d’allure générale ne se dégage clairement ? Doit-on en conclure que seuls des modèles mathématiques affreusement compliqués pourraient rendre compte d’un tel mouvement ? Eh bien non ! Des modèles pourtant très simples peuvent tout à fait reproduire des dynamiques d’une très grande complexité.

Par exemple, Robert May a pu modéliser dans [1] l’expansion démographique très irrégulière d’une espèce animale à l’aide d’une fonction très simple connue sous le nom de fonction logistique [2]. Si l’on choisit bien le coefficient de reproduction, la proportion du nombre d’individus de cette population varie de manière si désordonnée qu’on croirait qu’elle est issue d’un tirage de nombres au hasard !

Dynamique chaotique

L’un des systèmes dynamiques chaotiques les plus connus modélise le mouvement d’une masse d’air par convection dans l’atmosphère et il est l’œuvre d’Edward Lorenz [3] [4] [5]. Pour des valeurs bien précises des paramètres, la simulation numérique de ce modèle qui dépend de trois variables trace dans l’espace un attracteur étrange, un objet mathématique fascinant sur lequel presque toutes les trajectoires viennent s’enrouler. Et ce n’est pas tout ! Une autre propriété très importante et qui est bien connue du grand public, c’est la dépendance sensible aux conditions initiales : des trajectoires ont beau démarrer avec des valeurs initiales très proches, l’écart entre ces trajectoires peut devenir considérable très rapidement. C’est le fameux « effet papillon » [6].

Le système d’équations de Lorenz présente aussi une autre caractéristique de certaines dynamiques chaotiques. Si on modifie un peu les paramètres du modèle de Lorenz, ça n’empêche pas l’attracteur étrange de survivre à cette petite perturbation du modèle : on dit que le système de Lorenz est robuste. En quelque sorte, on pourrait parler d’indépendance sensible aux paramètres du modèle.

Cet article présente un attracteur étrange différent de l’attracteur de Lorenz et découvert il y a plus de dix ans par l’un des deux auteurs [7]. Comment se manifeste sa dépendance sensible aux conditions initiales (DSCI) et sa dépendance sensible aux paramètres (DSP) ? La visualisation d’animations inédites nous permettra de se familiariser un peu avec ces deux idées.

Un modèle économique chaotique

Le système chaotique que nous allons présenter est issu d’une modélisation mathématique de crise économique.

Le chaos économique

De nombreux modèles chaotiques déterministes ont été proposés en économie ; on peut citer [8],
 [9],
 [10],
 [11].

Les applications se sont souvent focalisées sur les relations macroéconomiques comme les cycles croissance-récession. D’ailleurs, sur la page « Modèle économique » de Wikipédia, on trouve un paragraphe intitulé « les effets du chaos déterministe sur les modèles économiques ».

Les études sur les dynamiques chaotiques microéconomiques (avec l’entreprise comme thème privilégié) sont plus tardives et portent par exemple sur l’optimisation des flux et des circuits logistiques qui parcourent les entreprises [12] ou les risques financiers pour une entreprise cotée en bourse [13].

À côté de cette « vision » déterministe du chaos en économie, de nombreux travaux portent aussi sur l’aspect stochastique du chaos et se regroupent dans un paradigme dénommé « éconophysique ». L’emploi des outils d’analyse de la statistique physique justifie cette terminologie. Voir par exemple : [14], [15].

On le construit en ajoutant une « boucle rétroactive » à l’oscillateur de van der Pol [16] qui modifie radicalement son comportement. Nous donnons ici le système d’équations différentielles définissant ce système mais il n’est pas indispensable de comprendre ces équations pour la suite.

\[\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & k y + m x (b - y^2) \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & - x + s z \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & p x - q y \end{array} \right.\]

Comment résoudre ce système de trois équations différentielles « relativement simple » ?

Commençons par chercher les points stationnaires de ce système : ce sont en quelque sorte les points d’équilibre du système et ils vérifient par définition $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=0$. Un calcul simple nous permet de trouver l’origine $E_0=(0, 0, 0)$ ainsi que deux autres points $E_1$ et $E_2$ positionnés de manière symétrique par rapport à l’origine. Notre système dépend par définition d’un certain nombre de paramètres $(k, m, b, s, p, q)$ ; par exemple avec les valeurs $(0.02, 0 4, 0.2, 0.2, 10, 0.1)$, les coordonnées de $E_1$ et $E_2$ sont les suivantes : $E_1=(0.02, 2.28, 0.11)$ et $E_2=(- 0.02, - 2.28, - 0 11)$.

Pour observer une trajectoire de ce système dynamique, il suffit de se donner des « conditions initiales », c’est-à-dire un point de coordonnées $(x_0, y_0, z_0)$ pour voir une trajectoire partir de ce point et évoluer avec le temps. Voici par exemple ce que ça donne avec les conditions initiales suivantes $(x_0, y_0, z_0)=( 0.1, 0.1, 0.1 )$.

Figure 1 : s = 0.2

Que voit-on ? Une trajectoire qui se promène indéfiniment dans l’espace et dessine ce qu’on appelle un attracteur étrange. En particulier, cette trajectoire n’a que faire des points $E_0$, $E_1$ et $E_2$ qu’on a appelés positions d’équilibre ! Si on s’était imaginé que la trajectoire allait évoluer et tendre vers ces positions d’équilibre (un peu comme une balançoire qui après un certain nombre de balancements s’arrête doucement), eh bien… c’est raté ! On parle de points d’équilibre instables [17].

Lançons deux trajectoires, l’une de conditions initiales proches du point $E_1$ et l’autre de conditions initiales proches de $E_2$. Bien sûr, ces trajectoires n’ont rien à voir et errent dans l’espace ad infinitum. Mais ce qui est surprenant, c’est que toutes les deux dessinent des attracteurs qui se ressemblent... étrangement ! Voyez par vous-même.

Persistance de l’attracteur étrange ($s = 0.2$)

Dans son best-seller [18], James Gleick s’est exprimé en ces termes par rapport au travail de Lorenz sur son système : « Lorenz n’avait pas découvert que l’imprédictibilité : il avait aussi discerné des formes ».

On appelle portrait de phase la figure constituée de toutes les trajectoires possibles. Comme nous l’avons vu, il suffit de se donner quelques conditions initiales au hasard, laisser le système évoluer pour voir apparaître quelques trajectoires, donc un « petit morceau » de ce portrait de phase.

L’évolution du portrait de phase

Et si on jouait un peu en changeant les paramètres de $(k, m, b, s, p, q)$ de notre système… Par exemple, modifions un peu le paramètre $s$. Qu’advient-il à notre portrait de phase ? Va-t-il se modifier légèrement ou radicalement changer ? Ce qu’on va faire, c’est faire varier progressivement $s$ et procéder à une « coupe » de l’attracteur, exactement ce qu’on ferait avec un couteau de cuisine ! Si l’attracteur étrange se transforme, on devrait pouvoir détecter ça sur l’empilement de toutes ces coupes. Voici ce qu’on observe.

Sections de Poincaré et diagramme de bifurcation

On voit apparaître ce qu’on appelle un diagramme de bifurcation. Si on pouvait s’attendre à une dépendance sensible de l’attracteur aux variations de $s$, on remarque aussi une « violente discontinuité », c’est-à-dire un changement radical de comportement, lorsque « s » est proche de $70$.

Regardons par exemple le seuil $s = 35$ : un nouveau portrait émerge autour de trois nouveaux points d’équilibres instables [19].

Figure 2 : s = 35

Toujours pour $s=35$, apprécions la dynamique autour de cet attracteur « antisymétrique » sur le petit film suivant.

Mais, au-delà du seuil $s = 70$, la dépendance sensible au paramètre $s$ est d’une toute nouvelle nature. En effet, à $s = 150$, l’attracteur perd son antisymétrie !

Figure 3 : s = 150

Regardons comment la dynamique semble bien différente maintenant.

Le système dynamique a toujours trois points d’équilibre instables [20]. Mais cette fois, on remarque l’existence de deux « bassins d’attraction ». Une trajectoire qui démarre dans le bassin d’attraction de $E_1$ est attirée et/ou repoussée par les points $E_0$ et $E_1$ et n’ira pas se promener dans l’autre bassin d’attraction. Pour $s = 150$, l’attracteur est sensiblement différent de celui correspondant à $s$ inférieur à $70$.

Et dans le second bassin d’attraction, que se passe-t-il ? Eh bien quelque chose de tout à fait analogue. Les trajectoires dessinent un deuxième attracteur du point d’équilibre $E_2$. Auparavant, lorsque $s$ était inférieur à $70$, nous n’avions qu’un seul attracteur étrange et désormais il y en a deux comme on le voit sur ce film [21]. Deux trajectoires ne s’enroulent plus forcément sur le même attracteur. Amusant, non ?

Ce passage d’un seul attracteur à deux attracteurs étranges ne survient pas brutalement au voisinage de $s = 70$ mais se produit progressivement dans l’intervalle $[60.5, 70.5]$. Apprécions tout cela en images.

Résumons un peu tout cela. Le système d’équations différentielles dont on est parti dépend de six paramètres $(k, m, b, s, p, q)$. Jusque là, on a fixé cinq de ces paramètres et on a fait varier le seul paramètre $s$. Pour chaque valeur de $s$, correspond un portrait de phases (la figure formée par toutes les trajectoires) qui prend des allures bien différentes au fur et à mesure que $s$ varie de $0.2$ à $150$ avec un ou plusieurs attracteurs étranges : c’est la dépendance sensible aux paramètres. Et nous n’avons joué qu’avec un seul paramètre sur les six possibles et on peut imaginer que notre système cache encore bien des merveilles...

Ces attracteurs aux comportements si étranges [22] font désormais partie de la boîte à outils des scientifiques qui les utilisent pour modéliser des processus bien réels en météorologie, en biologie, en économie, etc. Sans parler que ces attracteurs font le régal des artistes mathématiciens !

Nous exprimons nos remerciements à Aurélien Alvarez pour son aide décisive dans la rédaction de cet article.

Post-scriptum :

Safieddine Bouali est maître-assistant en sciences économiques à l’université de Tunis, Tunisie.

Notes

[1May R., « Simple mathematical models with very complicated dynamics », Nature, Vol. 261, p. 459-467 (1976).

[2Voir aussi ce document très complet.

[3Lorenz E., « Deterministic Nonperiodic Flow », Journal of Atmospheric Sciences, 20, p.130-141 (1963).

[4Ghys É. et Leys J., « Lorenz and modular flows : a visual introduction. A tangled tale linking lattices, knots, templates, and strange attractors », article en ligne ici (2006).

[5Ghys É. et Leys J., « Le moulin à eau de Lorenz », article en ligne ici (2009) sur ce site.

[6Pour en savoir plus sur ce qu’est vraiment l’effet papillon, on pourra commencer par consulter cet article.

[7Bouali S., « Feedback Loop in Extended van der Pol’s Equation Applied to an Economic Model of Cycles », International Journal of Bifurcation and Chaos, 9, 4, 745-756 (1999). L’article est disponible au format pdf ici

[8Baumol W. et Benhabib J., « Chaos : Significance, Mechanism and Economic Applications », Journal of Economic perspectives, 3, p. 77-105 (1989).

[9Medio A. et Gallo G., Chaotic Dynamics : Theory and Applications to Economics, Cambridge, Cambridge University Press (1992).

[10Day R. H., Complex Economic Dynamics, An Introduction to Dynamical models and markets, M.I.T., Boston (1994).

[11Puu T., Attractors, Bifurcations, and Chaos. Nonlinear Phenomena in Economics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2003).

[12Hwarng H.B. et Xie N., « Understanding supply chain dynamics : A chaos perspective », European Journal of Operational Research, 184, 3, p. 1163-1178(2008).

[13Bouali S., « Targeting Fixed Reinvestment Rate : A « Strange » Path to Financial distrais », Corporate Ownership & Control, Vol. 7, issue 2, p. 311-318 (2009).

[14Montegna R. et Stanley H.E., Introduction to Econophysics. Correlation and complexity in finance, Cambridge University Press, Cambridge (1999).

[15Lux T., Reitz S. et Samanidou E., Nonlinear Dynamics and Heterogeneous Interacting Agents, Springer, Berlin (2005, éds).

[16Pol (van der) B., « On relaxations oscillations », Philos. Mag., 7, 2, p. 978-992 (1926), et Pol (van der) B. et Mark (van der) J., « Frequency démultiplication », Nature, 120, p. 363-364 (1927). L’oscillateur de van der Pol modélise un mouvement périodique amorti et auto-entretenu. Plus d’infos sur cet oscillateur ici.

[17Il n’est pas trop difficile de savoir si des points d’équilibre sont stables ou non : il suffit d’étudier la matrice jacobienne du système. Sur les propriétés de la non-linéarité, on pourra consulter avec profit l’ouvrage de Thompson J.M.T. et Steward H.B., Nonlinear Dynamics and Chaos, John Wiley & Sons (2001).

[18Gleick J., La théorie du chaos, Albin Michel, Paris, p. 67 (1989).

[19Les points de « stabilité » se positionnent maintenant en $E_0=(0, 0, 0)$, $E_1=(0.02, 2.28, 6.10^{-4})$ et $E_2=(- 0.02, -2.28, -6.10^{-4})$.

[20$E_0=(0, 0, 0)$, $E_1=(0.02, 2.28, 10^{-4})$ et $E_2=(- 0.02, - 2.28, -10^{-4})$.

[21Pour les curieux, les deux trajectoires que l’on voit correspondent respectivement aux conditions initiales $(x_0, y_0, z_0) = (0, 3, 10^{-4})$ et $(x_0, y_0, z_0) = (0, -3, -10^{-4})$.

[22Parce que de telles propriétés semblaient improbables dans un unique système dynamique, il a fallu attendre 1971 pour que Ruelle et Takens donnent à ce genre d’attracteurs le qualificatif d’étranges dans leur article « On the nature of turbulence ».

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Pour citer cet article :

Jos Leys, Safieddine Bouali — «Sculptures du chaos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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