¿Se puede desanudar el icosaedro ?

Rectángulos áureos y tricoloración de Fox

Piste rouge Le 10 mars 2013  - Ecrit par  Clément Caubel
Le 3 avril 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Peut-on dénouer l’icosaèdre ? Voir les commentaires
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¿Conoce usted el icosaedro ? Ya sabe, ese sólido regular [1] con 20 caras triangulares conocido desde la Antigüedad [2]. Aquí hay (¿casi ? [3]) un modelo galo-romano en cristal de roca [4].

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El ’’doble-decaedro’’ del museo Carcopino de Aléria

Construcciones reales...

Tomarle una foto está bien, pero construirlo es mejor. Uno puede hacerlo a mano a partir de un modelo plano (vea por ejemplo aquí), o utilizando juegos de construcción.

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Dos construcciones posibles del icosaedro

Construcción virtual...

Pero si uno quiere representarlo virtualmente, es decir, que un computador lo dibuje a través de un programa gráfico, se necesita poder especificar la posición de sus vértices. Para un computador, la posición de un punto $P$ es el dato de sus tres coordenadas $(x,y,z)$. Una pregunta surge naturalmente : ¿hay un icosaedro cuyos vértices tengan coordenadas « simples » ?
La siguiente es una posible respuesta : tome tres rectángulos de oro del mismo tamaño, es decir rectángulos iguales cuya relación de longitud y anchura sea igual al número de oro $\tau={1+\sqrt{5}\over 2}\simeq 1,61$.

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Un rectángulo áureo gris

Ahora colóquelos de manera que estén centrados en el origen de la referencia, que sus lados sean paralelos a los ejes de coordenadas, que estén en tres planos diferentes y que sus contornos no se topen. Obtendrá entonces esto :

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Tres rectángulo áureos grises engarzados

¿Qué tiene que ver con nuestra pregunta ? Bueno, si uno se molestó en tomar estos tres rectángulos áureos es porque ahora los doce vértices de nuestros tres rectángulos engarzados son los vértices de un icosaedro regular [5].

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Tres rectángulos áureos grises engarzados y embalados

¿Construcción imposible ?

Esto permite imaginar otra construcción a manos del icosaedro : se recortan tres rectángulos áureos del mismo tamaño en cartón, se les hace una ranura al medio, y luego se desliza uno sobre los otros en forma perpendicular. Finalmente, se puede tender una tela liviana alrededor de este ’’esqueleto’’ para obtener el icosaedro de la figura anterior.

El problema es que ¡esta construcción parece imposible ! Si bien es fácil hacer deslizar uno de los rectángulos doblados a lo largo del otro, aparentemente no se puede hacerlo con los tres al mismo tiempo, a menos que se rompa el borde de uno de ellos.

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¿Cómo probar la imposibilidad con dibujos ?

Imaginemos que pudiéramos construir nuestro esqueleto sin romper nuestros tres rectángulos ranurados. Si uno pudiera agrandar sus ranuras, podría deformarlos simultáneamente, como se muestra a continuación :

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Esto permitiría lograr este engarzamiento de marcos :

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Procediendo a la inversa entonces, uno podría separar los tres marcos de este engarzamiento sin cortarlos. De alguna manera, estaríamos desanudando el icosaedro...

Para probar que esto es, sin embargo, imposible, redondeemos el engarzamiento anterior de este modo :

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¿No le recuerda nada eso ? Es un trenzado [6] que ya fue objeto de discusión en este sitio.

Para verlo, comencemos por marcar exactamente cuál lazo pasa por encima de cuál otro. Obtenemos así un diagrama [7] de nuestra trenza.

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Ahora vamos a transformar este diagrama, como si los tres lazos cerrados de nuestra trenza fuesen de goma, y uno pudiera deformarlos o estirarlos sin que se corten nunca. Vamos a proceder zona por zona. Comencemos por esta zona azul :

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Hagamos pasar la cuerda de abajo por debajo del cruce, como aquí :

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Ahora aboquémonos a la zona rosada,

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y retraigamos el lazo que está más largo sobre el otro :

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Se puede proceder ahora igual con los otros dos lazos,

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para llegar a esta figura :

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Lo único que queda es estirar un poco las cuerdas del medio, como aquí,

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para llegar, redondeando los lazos, a los anillos borromeos :

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De este modo, por medio de pequeñas transformaciones elementales (en las zonas rosadas y azules), se pasó de un diagrama a otro de la misma trenza. Es un resultado general :

Dos diagramas cualesquiera de una misma trenza se deducen uno del otro mediante una sucesión finita de transformaciones elementales.

Precisiones sobre las transformaciones elementales.

Nuestros dos diagramas, es decir, los bordes redondeados de los rectángulos engarzados y los anillos borromeos, así como todos los dibujos intermedios, son diagramas de la misma trenza, la trenza borromea. En la sucesión de transformaciones anterior, se pasó del primer diagrama al último aplicando sucesivamente en zonas precisas transformaciones elementales de dos tipos siguientes (llamados II y III, en rosado y azul respectivamente en las figuras anteriores) [8].

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Ahora bien, si uno agrega esta transformación (llamada de tipo I)

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resulta que esos tres tipos de transformaciones elementales bastan para pasar de cualquier diagrama establecido de una trenza a otro. Nuestra transformación es una ilustración de ese resultado, y se debe a Reidemeister y Alexander & Briggs en 1927 [9] :

Dos diagramas cualesquiera de una misma trenza se deducen uno del otro mediante una sucesión finita de transformaciones elementales de tipo I, II o III.

¿Cómo se relaciona esto con nuestro problema ? Bueno, si uno pudiera construir un esqueleto de icosaedro a partir de tres rectángulos ranurados sin romperlos, podría -siguiendo la transformación anterior- unir tres lazos bien separados (los bordes de los rectángulos) sin cortarlos, para obtener los anillos borromeos.
En otras palabras, uno podría efectuar esta transformación de diagramas :

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Por lo tanto, según el resultado citado anteriormente, uno podría pasar de uno a otro de los diagramas de arriba mediante una secuencia de transformaciones elementales. ¡Es la imposibilidad de esto la que vamos a probar : no se puede desanudar el icosaedro !

Tricoloraciones de diagramas

La idea de lo viene a continuación se debe a Ralph Fox [10] y data de fines de los años 1950.

Establezcamos un diagrama de una trenza cualquiera (por ejemplo del nudo de trébol) :

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El diagrama está formado por un cierto número de trozos (los arcos), cuyos eventuales extremos se encuentran en sus cruces. Tricolorear el diagrama es colorear cada arco de un color entre tres establecidos al comienzo (por ejemplo rojo, azul y verde), de manera que en cada cruce :

  • los tres arcos involucrados sean del mismo color, o
  • los tres sean de diferente color.

Por ejemplo, entre las tres figuras de abajo, sólo dos son tricoloraciones válidas del diagrama anterior.

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¿Cuáles ?

La figura del medio no es una tricoloración válida : sus tres cruces involucran solo dos de los tres colores.

Ahora, contemos las tricoloraciones válidas de nuestro diagrama : hay 9.

¿Quiere verlas todas ?

Hay tres monocromas, y seis tricolores :

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Se puede hacer el mismo trabajo con los dos diagramas ligados a nuestro problema inicial :

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  • el diagrama de la izquierda formado por tres anillos separados cuenta con tres arcos (los tres lazos) y ningún cruce. Por lo tanto no hay ninguna restricción de coloración : cada uno de los tres lazos puede ser coloreado con uno de los tres colores. Hay entonces $3\times 3\times 3=27$ tricoloraciones válidas para este diagrama.
  • el diagrama de la derecha de los anillos borromeos, ... bueno, le dejo [11] que verifique que no se lo puede tricolorear válidamente sino de tres maneras : ya sea todo rojo, todo verde, o todo azul.

Ahora bien, y aquí está el punto decisivo :

No se cambia en número de tricoloraciones válidas de un diagrama aplicándole una transformación elemental.

¿Cómo se demuestra esto ?

Dos diagramas ligados por una transformación elemental son los mismos, con excepción de la zona donde se efectúa la transformación. De acuerdo al tipo de esta, la zona cuenta con 2, 4 o 6 arcos entrantes. Ahora bien, se ve -estudiando los diferentes casos posibles- que si uno colorea esos arcos entrantes y que esa coloración puede prolongarse dentro de la zona como una tricoloración válida, entonces será de una sola forma posible, que sería antes o después de la transformación. Ilustremos diferentes casos [12] : en cada una de las siguientes figuras, le dejo verificar que la única manera válida de prolongar la coloración de una mitad de los arcos entrantes (los de arriba para los tipos I y II, y los tres de la izquierda para el tipo III) es aquella prescrita por la figura.

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Así, estando dada la zona, una tricoloración válida depende sólo de la coloración de los arcos entrantes, y no de lo que sucede en la zona. Hay entonces tantas tricoloraciones válidas antes y después de la transformación.

Esto implica que todo diagrama de una trenza obtenida a partir de tres lazos separados puede ser tricoloreada de 27 maneras distintas, ya que se las puede obtener a partir del diagrama de la izquierda mediante una sucesión de transformaciones elementales. De igual forma, todo diagrama de las trenzas borromeas [13] puede ser tricoloreado solamente de 3 maneras diferentes. Ya que $27\neq 3$, es imposible la transformación de diagramas considerada.

Nuestro engarzamiento de rectángulos áureos ranurados es imposible, y recíprocamente, no se puede desanudar el icosaedro.

Un pequeño ejercicio para concluir

El diagrama formado con un solo círculo cuenta con 3 tricoloraciones, y el del nudo de trébol cuenta con 9, como se ha visto. Conclusión : no se puede pasar de uno a otro de esos diagramas mediante una serie de movimientos elementales, y entonces no se puede crear el nudo de trébol a partir de un lazo no anudado sin cortarlo.

De la misma manera, le propongo algunos anudamientos-desanudamientos (o enlazamientos-desenlazamientos) previsibles. ¿Sabría usted probar si son posibles o no ?

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Para saber más

El número de tricoloraciones de un diagrama depende solamente de las trenzas que representa : se le llama entonces un invariante de estas trenzas. Así se ha probado que dos trenzas eran diferentes, probando que los valores correspondientes de esta invariante lo eran ($9\neq 27$). Pero los ejercicios anteriores muestran que aparentemente no basta que dos diagramas tengan el mismo número de tricoloraciones para que sean dos diagramas de una misma trenza (primer y tercer ejemplos). Hay un montón de otros invariantes, a menudo muy complicados, calculables a partir de un diagrama, que permiten distinciones más finas [14]. Para mostrar que no dependen de las trenzas, se verifica, como más arriba, que no son modificadas por transformaciones elementales.

Para profundizar, le aconsejo la lectura del libro de Alexei Sossinsky, Nœuds. Genèse d’une théorie mathématique.

Post-scriptum :

Agradezco a Clémence Rigolet por su pregunta del inicio de este artículo, y a Carine Apparicio por la idea de la construcción imposible en cartón.

Agradezco además a Patrick Popescu-Pampu por sus eficaces comentarios a una primera versión de este texto, a Étienne Ghys por su observación cristalina, así como a Laurent Bétermin, Nicolas Bedaride, Thierry Monteil y a Paul Laurain por sus atentas relecturas y sus sugerencias.

Article édité par Pedro Sánchez Terraf
Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Uno podría decir también icosaedro pensando en un sólido de veinte caras no necesariamente iguales (ni necesariamente triangulares, por cierto), pero no vamos a hacerlo aquí.

[2En efecto, es uno de los sólidos platónicos.

[3Étienne Ghys me hace notar que este modelo, habiendo sido tallado en cristal de roca, no puede ser un icosaedro regular : las posibles simetrías en los cristales no incluyen las de éste. Es probablemente más bien un pseudoicosaedro. Para saber más, esta página parece un buen punto de entrada...

[4expuesto en el Musée départemental Jérôme Carcopino d’Aléria, en Córcega. Se puede encontrar una mejor foto en la página 38 del catálogo.

[5El lector entendido podrá convencerse de eso mediante el cálculo a partir de las coordenadas de esos vértices, que son de la forma $(\pm \tau,\pm 1,0)$, $(0,\pm\tau,\pm 1)$, $(\pm 1,0,\pm\tau)$.

[6En general, un trenzado es el dato, excepto deformación, de uno o varios lazos en el espacio, anudados o no, enlazados o no. Un solo lazo forma un nudo.

[7Es decir, una representación plana de trenzas obtenida proyectándola (a ella o a una de sus deformaciones) sobre un plano bien escogido y marcando en cada cruce cuál de las dos cuerdas involucradas está encima (para más precisiones, consulte por ejemplo esto).

[8y aplicando deformaciones que no modifican las posiciones relativas de los cruces, pero esto se subentenderá a continuación...

[9Las transformaciones I, II y III anteriores son por cierto llamadas movimientos de Reidemeister.

[10cf. J.H. Przytycki, 3-coloring and other elementary invariants of knots para más detalles

[11¡Sí, sí, insisto !

[12Todos traen consigo cambio de colores.

[13En particular, el que entrega los marcos engarzados. ¡Le dejo verificarlo !

[14Un poco como la huella de ADN, más eficaz para distinguir dos individuos que por el simple color de los ojos.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Se puede desanudar el icosaedro ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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