Sections coniques

Le cône d’Apollonius

Le 24 mars 2012  - Ecrit par  Francisco Treceño Voir les commentaires (1)

Voir et toucher les coniques !

Nous, les tourneurs sur bois, nous vivons entre des courbes. Des courbes, des corps ronds, des solides de révolution… presque toujours des corps géométriques composés totalement ou partiellement de figures géométriques courbes. [1]

Nous utilisons un tour (tornus, y τόρνος, tour) pour travailler le bois fourni par les arbres après une croissance lente en harmonieux « anneaux concentriques ». Et indépendamment de la forme du bloc de bois — irrégulier, quadrangulaire, polygonal, etc. — une fois fixé dans l’axe de déplacement du tour, lorsqu’on le fait tourner à 3000 tours par minute, il se transforme, comme par magie, en une silhouette cylindrique. Ensuite à l’aide de différents outils (gouges, bédanes, planes, racloirs, etc.), on travaille le bois pour parvenir à l’objet souhaité : des cônes, des cylindres, des sphères, des formes tronco-coniques ou ellipsoïdales , des calottes sphériques ou hémisphériques...

.... ou le fameux cône d’Apollonius, pièce qui rassemble la beauté décorative, la simplicité formelle et la complexité géométrique.

Cône d’Apollonius

Cette figure en bois — célèbre depuis la sortie du film « Ágora » d’Alejandro Amenábar qui évoque la vie d’Hypatie, fille de Teón, mathématicienne et astronome — était une des pièces du matériel pédagogique de nos écoles d’enseignement primaire au siècle passé. C’était un cône équivalent à celui-ci — mais pas identique — avec lequel on faisait les travaux pratiques à l’école ; à côté de ce cône il y avait d’autres figures comme le cylindre, la sphère, le cube, des prismes, des pyramides, etc. Il s’agissait de la mallette des figures géométriques en bois.

Au musée “Traversi“ de Venise, on peut admirer le cone per le sezioni coniche qui date de 1891. C’est la plus ancienne pièce de ce type que je connaisse.

Il y a plusieurs choses que je trouve fascinantes dans ce type de cône, mais surtout je soulignerai d’un côté sa simplicité formelle et sa force esthétique, et d’un autre la difficulté technique de sa construction.

Chêne américain

Chêne français

Les bois utilisés pour construire les cônes

Chaque cône est tourné à partir d’un unique bloc de bois, pour que de la base jusqu’au sommet il conserve la même veine, le rendant ainsi esthétiquement plus attirant.

J’utilise principalement du chêne français, du marronnier ou du noyer espagnol qui présentent de beaux dessins flamboyants ainsi que la consistance et la densité nécessaires. Un cône se compose de cinq pièces : trois sont teintées et les deux autres conservent leur ton naturel. Cette alternance de ton transmet une certaine spatialité interne, qui fait pressentir au spectateur ce qu’il peut découvrir en démontant le cône.

D’abord on démonte la partie supérieure pour voir le cercle.

Puis l’ellipse.

La branche de l’hyperbole.

Chêne français {JPEG}

La parabole.

Corail-Padouk {JPEG}

Et toutes les coniques d’un seul coup d’œil. [2]

Noyer espagnol {JPEG}

Les pièces s’assemblent grâce à des chevilles intérieures : l’ellipse et le cercle verticalement, la parabole et la branche d’hyperbole horizontalement avec une cheville fixée à la partie de derrière légèrement inclinée de bas en haut. Dans cette vidéo d’à peine 50 secondes, on peut voir comment on démonte et remonte à nouveau un cône.

Ce serait très long d’expliquer les étapes nécessaires à la construction d’un cône, puisqu’elles sont nombreuses et très précises, autant du point de vue du dessin que du tournage. Il est indispensable que les calculs initiaux soient exacts pour que les sections du cône conservent un angle correct lors de la dernière étape : la coupe de raffinage et le réglage des dimensions de la hauteur du cône et du diamètre de la base.
Pour faire un cône, je consacre une ou deux journées complètes de travail en fonction des dimensions. J’ai déjà dit que c’est un processus très long et laborieux qui commence par la sélection du bloc de bois, sans nœuds ni fissures, jusqu’à la finition, en passant par beaucoup de processus et de travaux habituels dans tous les travaux en bois : dessin, traçage, découpage, collage, perçage, ponçage ... De la poussière, de la sciure et des copeaux !

Un véritable travail artisanal ! Mais pour finir, je dois avouer que le résultat — de mon point de vue de constructeur — est plus que satisfaisant. Un cône démontable en bois, agréable au toucher, délicat et dur à la fois, glissant, proportionné... qui permet de voir, connaître, caresser et toucher les sections coniques. Il y a quelque temps j’ai lu que « toucher est basiquement l’unique façon par laquelle on peut avoir une sensation directe de la forme tridimensionnelle d’un objet ». Je crois que c’est vrai.

Permettez-moi de conclure cette brève, citant le passage [3] de L’enfant de Jules Vallès consacré aux succès mathématiques du narrateur. On peut le trouver in extenso ici (milieu de page, paragraphe « les mathématiques »). Je cite juste la fin :

« (...) À propos : vous avez compris mon système, il paraît.
– Il n’y a qu’à regarder et à toucher. Tenez, voulez-vous que je vous explique ? »

Prenant les plâtres que je trouvais sous la main, je refis ma démonstration.

« C’est ça ! c’est ça ! disait-il en hochant la tête. On veut enseigner aux enfants ce que c’est qu’un cône, comment on le coupe, le volume de la sphère, et on leur montre des lignes, des lignes ! Donnez-leur le cône en bois, la figure en plâtre, apprenez-leur cela, comme on découpe une orange ! – De la théologie, tout leur vieux système ! Toujours le bon Dieu ! le bon Dieu !

– Qu’est-ce que vous dites du bon Dieu ?

– Rien, rien. »

Il eut l’air de sortir d’une colère, et il me reparla de la géométrie avec des fils et du plâtre.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Vincent Beck,
Aline Parreau,
Anne-Laure Dalibard,
Michel Mouyssinat,
TheBarber,
Rémi Coulon et
Vincent Borrelli.

Article édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Pour l’aide apportée sur cet article, je remercie la professeur -et amie- de mathématiques de l’Université du Pays Basque, Marta Macho-Stadler.

[2On trouvera dans les pages suivantes de quoi enrichir ses connaissances
sur les coniques :

Génération tangentielle

Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

Trois mille deux cent soixante-quatre…

[3Passage qui m’a été aimablement révélé par Clément Caubel

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Pour citer cet article :

Francisco Treceño — «Sections coniques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - On peut retrouver l’image du logo et celles de l’article sur artmadera.

Commentaire sur l'article

  • Sections coniques

    le 24 mars 2012 à 13:23, par Marta

    Un GRAND BRAVO pour ton art, Francisco !

    Merci pour ce joli article.

    Répondre à ce message

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