Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

Piste verte 21 décembre 2015  - Ecrit par  Shalom Eliahou Voir les commentaires (9)

Quels étages sont-ils accessibles avec un ascenseur à boutons relatifs ? Quelles sommes peut-on former avec des pièces de monnaie de quelques valeurs seulement ? Ces questions d’apparence anodine recèlent bien des mystères.

Introduction

Les semigroupes numériques sont des objets mathématiques fascinants. Simples à définir, ils sont depuis des décennies au coeur de problèmes difficiles, sur lesquels d’intenses recherches sont toujours en cours.

Mais avant de plonger dans leur définition, commençons par un avatar plus évocateur, des ascenseurs très spéciaux. Si spéciaux, d’ailleurs, qu’il y a bien peu de chances d’en rencontrer dans la vie réelle. Mais qu’importe, dans un monde imaginaire, tout est possible ! De plus, les expériences imaginaires permettent souvent d’appréhender le monde réel ; pensons à Einstein, balisant son cheminement vers la théorie de la Relativité Générale [1] par des expériences mentales sur des ascenseurs, entre autres.

En parlant d’ascenseurs ici, notre propos ne sera pas de chercher à comprendre la structure de l’espace-temps ou de l’univers. Mais plus modestement, de mettre en lumière certains problèmes sur les nombres entiers, qui nous échappent collectivement, depuis longtemps, et qui méritent donc qu’on s’y penche un peu.

L’article est en grande partie conçu pour la piste verte. Mais de légères fluctuations chromatiques — tirant principalement vers le bleu — pourraient se faire sentir ici ou là.

Des ascenseurs très spéciaux

Imaginez un gratte-ciel géant avec un million d’étages. Pour des raisons budgétaires, son unique ascenseur n’a pu être équipé que d’un petit nombre de boutons :

  • un bouton classique, étiqueté $0$, dont une simple pression fait redescendre au rez-de-chaussée ;
  • et quelques boutons relatifs, munis chacun d’une étiquette de la forme $+n$, permettant de monter de $n$ étages quel que soit celui où l’on se trouve. D’où le qualificatif « relatif », pour relatif à la position présente [2].

Par exemple, un bouton étiqueté $+5$ fait monter de $5$ étages, où que l’on soit. Si l’on est au $27$e étage, on atteindra le $37$e étage en appuyant deux fois sur ce bouton.

Une question naturelle se pose aussitôt.

Question. Quels étages sont-ils accessibles à partir du rez-de-chaussée, en appuyant tant qu’on veut sur les quelques boutons relatifs disponibles ?

Sous ce problème d’apparence anodine se cachent des difficultés considérables, comme nous le verrons plus loin dans cet article.

Un exemple

Prenons un cas concret, celui où notre ascenseur ne dispose que des deux boutons relatifs $+3$ et $+5$.

Eh bien, quels étages sont-ils accessibles depuis le rez-de-chaussée avec cet équipement ? Pour faire court, la réponse est codée dans le logo. Mais n’allons pas trop vite.

Au début, ignorons le bouton $+5$, et appuyons tant qu’on veut sur le bouton $+3$. Cela permet d’accéder à tous les étages qui sont un multiple de $3$, à savoir :

\[\color{red}{0, 3, 6, 9,12, 15, \ldots}\]

Faisons maintenant entrer le bouton $+5$ en scène, et appuyons une fois dessus. Si l’on se trouve au rez-de-chaussée, on atteindra l’étage $5$ ; si l’on est à l’étage $3$, on atteindra l’étage $8$ ; de l’étage $6$, on atteindra l’étage $11$ ; etc. Le tableau suivant résume la situation.

Etages accessibles avec quelques pressions sur le bouton $+3$ et...
\[ \begin{array}{rcccccc} -* \text{ sans utiliser le bouton +5 :} & 0, & 3, & 6, & 9, & 12, & 15, \ldots \\ -* \text{ avec une pression sur le bouton +5 :} & 5, & 8, & 11, & 14, & 17, & 20, \ldots \end{array} \]

En combinant ces données, voici les étages accessibles depuis le rez-de-chaussée, en appuyant tant qu’on veut sur le bouton $+3$, mais au plus une fois sur le bouton $+5$ :
\[ 0, 3, \color{red}{5}, 6, \color{red}{8}, 9,\color{red}{11},12,\color{red}{14},15,\color{red}{17}, \ldots \]
Les étages $10$ et $13$, par exemple, restent inaccessibles. En nous permettant maintenant d’appuyer une fois de plus sur le bouton $+5$, de nouveaux étages deviennent accessibles, dont $10$ et $13$. Voici en effet la nouvelle table obtenue.

Etages accessibles avec quelques pressions sur le bouton $+3$ et...
\[ \begin{array}{rcccccc} -* \text{ sans utiliser le bouton +5 :} & 0, & 3, & 6, & 9, & 12, & 15, \ldots \\ -* \textrm{ avec une pression sur le bouton +5 :} & 5, & 8, & 11, & 14, & 17, & 20, \ldots \\ -* \textrm{ avec deux pressions sur le bouton +5 :} & 10, & 13, & 16, &19, & 22, & 25, \ldots \end{array} \]

En résumé, en combinant ces données, voici les étages accessibles en appuyant tant qu’on veut sur le bouton $+3$, et au plus deux fois sur le bouton $+5$ :
\[ 0, 3, 5, 6, 8, 9, \color{red}{10}, 11, 12, \color{red}{13}, 14, 15, \color{red}{16}, 17, \ldots \]

Un seuil

Un phénomène intéressant vient d’émerger : avec au plus deux pressions sur le bouton $+5$, tous les étages au-dessus du $8$e semblent désormais accessibles. Est-ce vrai ?

Eh bien oui, c’est vrai. En effet, les étages $8,9,10$ sont accessibles et consécutifs. Donc, à partir de ceux-ci, en appuyant une fois de plus sur le bouton $+3$, on pourra accéder aux étages $11,12,13$ respectivement. Avec une nouvelle pression sur ce même bouton, ce sont les étages $14,15,16$ qui deviennent accessibles. Etc.

C’est gagné : la disponibilité du bouton $+3$, et l’accessibilité à un certain niveau de trois étages consécutifs, permet bel et bien d’atteindre tous les étages supérieurs à partir de là.

Les étages $1, 2, 4,7$, eux, restent inaccessibles avec cet ascenseur. Pratique, pour les appartements privés du propriétaire.

La notation chevron

On connaît exactement maintenant tous les étages accessibles depuis le rez-de-chaussée avec notre ascenseur aux boutons $0,+3$ et $+5$ : ce sont les étages $0, 3, 5, 6$ et tous ceux à partir du $8$e. Pour dire exactement la même chose, mais avec des symboles commodes et de façon nettement plus concise, on écrira simplement :

\[ \langle 3,5 \rangle = \{0,3,5,6,8,\to\}. \]

  • Par convention, les petits chevrons du terme de gauche enjoignent de prendre tous les dosages possibles de $3$ et de $5$ ; autrement dit, l’ensemble de tous les nombres entiers $N$ pouvant s’écrire sous la forme
    \[ N = a \times 3 + b \times 5 \]
    où $a$ et $b$ sont des nombres entiers positifs ou nuls quelconques [3]. Dans la métaphore des ascenseurs, ces doses $a$ et $b$ représentent le nombre de pressions sur les boutons $+3$ et $+5$, respectivement.
  • Le terme de droite, lui, donne explicitement l’ensemble obtenu. Autrement dit, l’ensemble des étages accessibles avec les boutons $+3,+5$ à partir du rez-de-chaussée ; la petite flèche indique que tous les étages dès le $8$e en font partie.

Petit exercice pour s’échauffer un peu : donner explicitement l’ensemble décrit par $\langle 4,7 \rangle$. Ne pas cliquer sur la solution avant d’avoir tenté de répondre !

Solution

\[ \langle 4,7 \rangle = \{0,4,7,8,11,12,14,15,16,18,\to\}. \]

Petit exercice supplémentaire : quels sont les points que l’on peut obtenir au rugby, sachant qu’on peut les marquer par paquets de $3$ (pénalité, drop), $5$ (essai non transformé) et $7$ (essai transformé) [4] ? Autrement dit, il s’agit d’expliciter l’ensemble décrit par $\langle 3,5,7 \rangle$.

Un sac de menue monnaie

Un avatar plus connu des semigroupes numériques se présente ainsi. On considère un grand sac de pièces de monnaie de quelques valeurs seulement, disons deux ou trois pour fixer les idées.

Question. Quelles sommes peut-on constituer avec les pièces de ce sac ?

Par exemple, si les valeurs disponibles sont $3$ et $5$ centimes, on connaît déjà la réponse, grâce à notre étude de l’ascenseur aux boutons relatifs $+3$ et $+5$. Sommes possibles ou étages accessibles, même combat ! On trouve donc, en centimes :
\[ 0, 3, 5, 6, 8, 9, 10, \ldots \]

Semigroupes numériques

Un semigroupe numérique, ce n’est rien d’autre qu’une généralisation évidente des exemples qu’on vient de voir. Cette notion est née au 19e siècle, dans l’imagination et sous la plume de James J. Sylvester. On se donne quelques nombres entiers positifs $n_1,\dots,n_r$, sans spécifier a priori leurs valeurs respectives, et on appelle semigroupe numérique l’ensemble de tous les dosages possibles de ces nombres entiers, soit
\[ S = \langle n_1,\dots,n_r \rangle \]
dans la notation chevron. Officiellement, et de façon assez pertinente, on dit que ces nombres $n_1,\dots,n_r$ sont des générateurs de $S$.

Dans le langage des ascenseurs, cela revient à dire que si les boutons relatifs présents sont étiquetés $+n_1, \dots, +n_r$, le semigroupe numérique associé $S$, c’est juste l’ensemble de tous les étages accessibles à partir du rez-de-chaussée avec cet équipement.

Pour une définition complète des semigroupes numériques, il faut encore ajouter une petite condition technique :

Les générateurs $n_1,\dots,n_r$ doivent n’admettre aucun diviseur commun supérieur à 1.

Cette condition est bien satisfaite par notre paire $3,5$ ; mais elle ne l’est pas, par exemple, par la paire $6,10$, à cause du facteur commun $2$ ; celui-ci interdirait tous les étages impairs si notre ascenseur ne disposait que des boutons relatifs $+6,+10$.

Par contre, cette condition technique sur $n_1,\dots,n_r$ a une conséquence remarquable : elle assure que tous les étages à partir d’un certain seuil sont accessibles depuis le rez-de-chaussée. Cela requiert une démonstration, bien sûr [5]. Dans notre exemple d’ascenseur aux boutons relatifs $+3,+5$, ce seuil d’accessibilité est le $8$e étage, on l’a vu ; tous les étages au-dessus sont accessibles.

Cela nous conduit tout naturellement vers un nouveau point de vue sur les semigroupes numériques.

Une définition équivalente

Voici donc une autre façon de définir les semigroupes numériques. Elle ne ressemble pas beaucoup à la précédente, mais on peut démontrer qu’elle en est strictement équivalente ; autrement dit, qu’elle définit exactement les mêmes objets mathématiques.

Définition. Un semigroupe numérique est une collection $S$ de nombres entiers positifs ou nuls vérifiant les conditions suivantes :
  • $S$ contient $0$ ;
  • $S$ est stable par somme ;
  • $S$ contient tout nombre entier assez grand.

La seconde condition signifie que, si $x$ et $y$ sont dans $S$, alors leur somme $x+y$ l’est aussi. Quant à la troisième, elle signifie qu’il existe dans $S$ un seuil minimal, notons-le $c$, à partir duquel tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à $c$ appartient à $S$.

Par commodité, dans la suite de l’article, on appellera seuil critique ce seuil minimal $c$. C’est plus parlant que conducteur, terme officiel dans la littérature spécialisée [6].

Par exemple, le seuil critique du semigroupe numérique $\langle 3,5\rangle $ vaut $c=8$, comme on l’a vu.

Le problème de Frobenius

Étant donnée une liste $ n_1,…,n_r$ de générateurs d’un semigroupe numérique $S$, déterminer le seuil critique $c$ de $S$ est un problème difficile en général. On le connaît sous le nom de Problème de Frobenius. Un livre entier lui est même consacré [7].

En fait, Sylvester avait déjà résolu ce problème pour un semigroupe numérique $S = \langle m,n \rangle$ à deux générateurs. Voici sa solution.

Théorème. [Sylvester, 1882] Pour un semigroupe numérique $S$ à deux générateurs $m$ et $n$, son seuil critique vaut $c = (m−1) \times (n−1)$.

Par exemple, si les deux générateurs sont $3$ et $5$, la formule donne $c = 2 \times 4 =8$ pour seuil critique, ce qu’on a vérifié depuis belle lurette.

Par contre, à partir de trois générateurs, il n’y a plus de formule simple donnant le seuil critique en terme des valeurs des générateurs. Pire que ça : tous les algorithmes actuellement connus pour calculer ce seuil critique sont très coûteux en temps, en particulier quand le nombre de générateurs grandit.

Représentation graphique

On va représenter un gratte-ciel et son ascenseur très spécial par un schéma simplifié — de préférence horizontal pour des raisons bien compréhensibles.

On met un point par étage, en partant du $0$ à gauche, et on colorie chacun selon la règle suivante :

  • du vert pour les étages accessibles à gauche du seuil critique [8],
  • du bleu ciel pour les étages accessibles à droite du seuil critique [9] ,
  • et enfin du gris pour les étages inaccessibles.

Cela permet de bien visualiser la situation. Voici le schéma correspondant à notre exemple favori, celui aux deux boutons relatifs $+3,+5$ :

Encore un petit exercice d’échauffement avec le semigroupe numérique $\langle 4,7 \rangle$ ? Il s’agit ici de donner sa représentation graphique. Ne pas cliquer sur la solution avant d’avoir essayé, ou demandé à un enfant passant par là de le faire !

Combien de points verts ?

Reprenons ce même code couleur dans un cadre un brin plus formel. Pour un semigroupe numérique $S$, assignons la couleur verte aux points de $S$ qui sont inférieurs à son seuil critique $c$, et la couleur bleue à tous ceux au-delà de $c$.

Par exemple, pour $S=\langle 3,5 \rangle$, les points verts sont $0,3,5,6$, et les points bleus sont tous les nombres entiers à partir de $8$.

En général, pour $S$ quelconque, la partie bleue ne présente aucun mystère ; c’est juste la suite de tous les nombres entiers à partir d’un certain seuil.

La partie verte, par contre, est plus délicate. En effet, bien que $S$ soit globalement stable par somme, sa partie verte ne l’est que partiellement. Car si $x,y$ sont deux points verts de $S$, donc inférieurs au seuil critique $c$, alors leur somme $x+y$ est encore un point de $S$, bien sûr, mais de couleur bleue s’il dépasse $c$.

Or, du fait de cette stabilité par somme, même partielle, les points verts ne peuvent pas être trop rares. Dans l’exemple $S=\langle 3,5 \rangle$, avec seuil critique $8$, la seule présence du point vert $3$ force la présence d’un autre point vert, à savoir $6=3+3$.

Ayant constaté ce phénomène, on aimerait bien le quantifier. Autrement dit connaître, pour tout semigroupe numérique, une estimation a minima du nombre de ses points verts.

La conjecture de Wilf

C’est Herbert Wilf, un célèbre combinatoricien américain, qui le premier a deviné et proposé en 1978 une telle estimation. Mais sous forme de simple question, non de théorème. Depuis lors, les chercheurs ont cherché à en établir une démonstration, sans succès à ce jour. Cette question a maintenant acquis le statut de conjecture phare dans cette thématique. La voici, dans toute sa splendeur.

Conjecture. [Wilf, 1978]
Le nombre de points verts dans le semigroupe numérique $S = \langle n_1,\dots,n_r \rangle$, autrement dit le nombre de points dans $S$ qui sont plus petits que son seuil critique $c$, est supérieur ou égal à $c/r$.

Une formulation équivalente dirait que la proportion des points verts de $S$ parmi les $c$ nombres entiers de $0$ à $c-1$ vaut au moins $1/r$. Donc au moins $1/3$, par exemple, dans le cas de $r=3$ générateurs.

Cela ne semble pas très sorcier à première vue. En mathématiques, on sait tant de choses merveilleuses, et merveilleusement compliquées, on doit bien pouvoir faire ça.

Eh bien non ! A posteriori on constate, un peu dépités, que c’est loin d’être simple. Cela fait presque quatre décennies maintenant que l’on bute collectivement sur ce problème.

Dans notre exemple favori $S=\langle 3,5 \rangle$, le nombre de générateurs est $r=2$, le seuil critique vaut $c=8$, et les points verts sont $0,3,5,6$. On a donc quatre points verts en tout, et $4$ est effectivement supérieur ou égal à $c/r=8/2=4$ (en fait égal ici). La conjecture de Wilf est donc bien satisfaite dans le cas présent.

Suite de la saga $\langle 4,7 \rangle$ : et maintenant que, grâce aux exercices d’échauffement, vous êtes devenu expert de ce semigroupe numérique, satisfait-il lui aussi la conjecture de Wilf ?

Un cas extrémal

Comment Herbert Wilf, hélas décédé en 2012, est-il arrivé à cette très intrigante question ? Son article de 1978 ne donne guère d’indication à ce sujet, et peut-être ne le saura-t-on jamais précisément.

Cela dit, le contenu intuitif de sa conjecture pourrait se comprendre ainsi : plus le nombre de points verts dans $S$ est petit, plus le nombre de générateurs $r$ doit être grand.

Par exemple, pour certains semigroupes numériques, il peut n’y avoir qu’un seul point vert, comme ici :

Le semigroupe numérique correspondant est $S = \{0,5,\to\}$, constitué de $0$ et de tous les nombres entiers à partir de $5$. Son seuil critique vaut $c=5$. Donc, selon la conjecture de Wilf, ce semigroupe devrait nécessiter au moins $r=5$ générateurs. Est-ce le cas ? Oui. On peut vérifier que d’une part, on a
\[ S \, = \, \langle 5,6,7,8,9 \rangle, \]
et que d’autre part, chacun de ces cinq générateurs est incontournable. On a donc $c/r=1$, en accord avec la conjecture.

C’est peut-être bien ce type d’exemple extrémal qui a servi d’inspiration à Wilf pour formuler sa question.

Vrai ou faux ?

Abondamment testée sur ordinateur, cette conjecture semble tenir la route ; elle se trouve toujours satisfaite dans les milliers de milliards de cas testés [10]. Seul souci, on reste incapables, aujourd’hui encore, de la démontrer mathématiquement. Et cela dure depuis 1978.

Bien sûr, il se pourrait qu’elle soit fausse, avec des contre-exemples rares, exotiques, difficiles à construire. Cela pourrait expliquer pourquoi toutes les tentatives de résolution à ce jour ont échoué : on ne peut démontrer une affirmation fausse !

Il se pourrait surtout que la conjecture soit bel et bien vraie, mais intrinsèquement difficile à démontrer, comme cela arrive en mathématiques ; autrement dit, qu’elle requière des outils conceptuels poussés et des idées novatrices pour pouvoir être démontrée.

C’est ce genre d’incertitude qui pousse les chercheurs à chercher. Sans compter que toute solution du problème, qu’elle soit positive ou négative, ne devrait pas manquer, comme souvent, de fournir de nouvelles clés pour résoudre de nouveaux mystères.

Quelques résultats positifs

L’état de l’art en ce qui concerne la conjecture de Wilf n’est pas très avancé [11]. Voici un petit échantillon de cas dans lesquels celle-ci a été démontrée.

  • Pour $r=2$, ce qui correspond à deux générateurs. Ce résultat est dû à Sylvester en 1882, soit... presque un siècle avant même la formulation de la conjecture par Wilf.
  • Pour $r=3$, c’est-à-dire pour trois générateurs. Résultat obtenu en 1987 par trois mathématiciens suédois [12].
  • Lorsque le nombre de points verts n’excède pas $4$. Résultat obtenu en 2006 par deux mathématiciens américains [13].

Il y a quelques autres cas encore où une solution positive a été établie. Par contre, la conjecture de Wilf reste complètement ouverte pour $r \ge 4$, c’est-à-dire pour quatre générateurs ou plus.

Lieux de recherche

La petite communauté des chercheurs qui planchent actuellement sur les mystères des semigroupes numériques vient principalement des pays suivants, par ordre alphabétique : Allemagne, Autriche, Espagne, Etats-Unis, France, Grèce, Israël, Italie, Japon, Mexique, Portugal, Roumanie, Suède et Suisse. En France, c’est principalement à Angers, Calais [14], Grenoble, Montpellier, Orsay et Paris qu’ils sont basés.

La plupart se réunissent tous les deux ans dans une conférence internationale dédiée, dont les dernières éditions ont eu lieu à Grenade (2010), Vila Real (2012) et Cortona (2014). Il existe même une revue spécialisée, « Semigroup Forum », qui publie des travaux de recherche autour de ce thème.

Pour les plus jeunes

Ce sujet se prête bien à des travaux pratiques pour chercheurs en herbe ; par exemple, avec des ascenseurs à deux ou trois boutons relatifs. Il est d’ailleurs concrètement proposé dans le cadre d’ateliers MATh.en.JEANS animés par Bruno Massé et l’auteur, dans le Calaisis et le Dunkerquois.

Alors, si tout le monde peut s’y frotter, des chercheurs débutants aux chercheurs confirmés, pourquoi pas vous ?

Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier Maxime Bourrigan, Jean Fromentin, Bruno Martin, Bruno Massé et Jorge Ramirez Alfonsin, ainsi que les relecteurs Nicolas Duhamel, Quentin Gendron et Nicolas Juillet, pour leurs très utiles commentaires sur l’article durant sa phase de finalisation.

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1Dont on fête le centenaire de l’article fondateur ces jours-ci.

[2Nos considérations relativistes s’arrêteront là, qu’on se rassure !

[3Cela illustre bien la légendaire densité du langage mathématique. Juste deux petits chevrons pour signifier la construction d’un ensemble infini de certains nombres entiers par une recette appropriée !

[4Merci à Maxime Bourrigan pour ce lien surprenant !

[5Dont le mythique théorème de Bezout est l’ingrédient principal.

[6Et donc oublié ici, mais quand même présent en filigrane, avec le choix du symbole $c$ pour le désigner.

[7The Diophantine Frobenius Problem, par J.L. Ramírez Alfonsín, Professeur à l’Université de Montpellier. Oxford University Press, 2005.

[8Pour un gratte-ciel, le vert pour ces étages évoque à la fois leur accessibilité et leur proximité avec le plancher des vaches.

[9Pour un gratte-ciel toujours, cette couleur évoque la proximité de ces étages avec le ciel.

[10Littéralement ! Jean Fromentin (Calais) et Florent Hivert (Orsay) détiennent ensemble le record mondial à ce sujet. Ils ont vérifié par ordinateur la conjecture de Wilf dans plus de 33.000 milliards de cas.

[11Même s’il a bien progressé ces dix dernières années. Une solution partielle asymptotique, dans un sens approprié, a été annoncée récemment.

[12R. Fröberg, C. Gottlieb et R. Häggkvist. Référence de l’article : On numerical semigroups, Semigroup Forum, vol. 35 (1987) pp. 63-83. Il est en accès libre sur EuDML, The European Digital Mathematics Library.

[13D. Dobbs et G. Matthews, dans un article intitulé On a question of Wilf concerning numerical semigroups. Mais des résultats récents, non encore publiés, ont validé la conjecture jusqu’à $10$ points verts.

[14Eh oui ; outre ses Bourgeois, sa dentelle, sa plage, son tunnel sous la Manche et sa jungle, on y trouve aussi l’Université du Littoral Côte d’Opale et sa recherche de pointe.

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Pour citer cet article :

Shalom Eliahou — «Semigroupes numériques et conjecture de Wilf» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

    le 21 décembre 2015 à 09:28, par Simon Billouet

    Merci pour cet article.
    Sur le lien avec le rugby et pour aller un peu plus loin que la question de savoir quels scores sont atteignables (notamment de combien de façons lesdits scores sont atteignables), on pourra lire ce lien.

    Répondre à ce message
    • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

      le 21 décembre 2015 à 10:23, par Shalom Eliahou

      Merci pour ce lien !

      Répondre à ce message
  • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

    le 21 décembre 2015 à 10:05, par orion8

    Bonjour. Vous écrivez :
    « Les générateurs n1, … , nr doivent n’admettre aucun diviseur commun supérieur à 1 »
    puis :
    « S = 0,5 , → = ⟨ 5, 6, 7, 8, 9 ⟩ ».
    Pouvez-vous expliquer ?
    Merci.

    Répondre à ce message
    • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

      le 21 décembre 2015 à 10:21, par Shalom Eliahou

      La condition est que les générateurs $n_1,...,n_r$ doivent n’admettre aucun diviseur d > 1 qui soit leur soit commun, à tous bien sûr.

      Dans l’exemple $S = \{0,5,\to\}$, c’est-à-dire $\{0,5,6,7,8,9,10,11,12,...\}$ comme ensemble, il faut cinq générateurs, qui sont 5,6,7,8,9. Il est bien vrai que ceux-ci n’admettent aucun diviseur d > 1 commun à tous les cinq.

      Répondre à ce message
  • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

    le 21 décembre 2015 à 10:26, par orion8

    « à tous », bien sûr ! Merci !

    Répondre à ce message
  • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

    le 21 décembre 2015 à 11:59, par Didier Roche

    Bonjour,
    Un article passionnant accessible et pouvant s’adapter à différents niveaux (école primaire , collège , lycée ,université ...) où l’ on se prend vite au jeu.
    Cela pourrait inciter des jeunes à faire des maths.
    Merci.
    Cordialement .
    Didier Roche.

    Répondre à ce message
  • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

    le 22 décembre 2015 à 17:22, par Samuel

    Bravo et merci pour cet article, superbement progressif et pédagogique.

    Répondre à ce message
  • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

    le 11 janvier à 00:59, par Dasson

    Merci et bravo pour cet article que j’ai utilisé pour ce programme en FLASH
    Roland Dassonval.

    Répondre à ce message
    • Semigroupes numériques et conjecture de Wilf

      le 11 janvier à 09:13, par Shalom Eliahou

      Merci pour cette très sympathique démo, qui illustre l’article de façon concrète et ludique !

      Shalom

      Répondre à ce message

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