Un défi par semaine

Septembre, 1er défi

5 septembre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 36 :

Si on dessine quatre cercles dans le plan, quel est le nombre maximal de points d’intersection qu’on peut obtenir ?

Solution du 5ème défi de Août

Enoncé

La réponse est $~945$.

Il faut compter le nombre de cartes qui représentent $2$ nombres à la fois. Pour ce faire, il faut compter la quantité de nombres à trois chiffres qui s’écrivent uniquement avec les chiffres $0$, $1$, $6$, $8$ et $9$. Comme chacun des trois chiffres peut être disposé dans n’importe quel ordre, on sait qu’il y a $5\times5\times5=125$ nombres avec cette caractéristique. De ceux-ci, il faut enlever ceux qui, en les tournant dans le sens inverse, sont identiques, comme le $609$. Observons que le chiffre du milieu de ces nombres peut seulement être $0$, $1$ ou $8$. De plus, les chiffres de gauche et de droite sont, ou bien égaux tous les deux à $0$, $1$ ou $8$, ou bien égal à $9$ pour l’un et $6$ pour l’autre. Ainsi il y a $3\times5=15$ nombres qui en les tournant sont identiques. Donc, il y a $125-15=110$ nombres qui en les retournant sont autres, ce qui implique qu’on a seulement besoin de $\frac{110}{2}=55$ cartes pour les représenter.

Pour représenter les nombres qui ont au moins un chiffre distinct de $0$, $1$, $6$, $8$ ou $9$, on a besoin de $(10\times 10\times 10) -125=875$ cartes. Par conséquent, le nombre de cartes dont on a besoin est $875+55+15=945$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Une fibration de Seifert, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Septembre, 1er défi

    le 6 septembre 2014 à 11:05, par Pierre stro

    Bonjour.

    Comme l’énoncé ne nous donne pas d’indication quant aux tailles des cercles, je considère qu’on peut confondre deux cercle et donc créer une infinité de points.

    Toutefois, si les cercles doivent être de tailles différentes, j’ai trouvé un maximum de 12 points.

    Répondre à ce message
  • Septembre, 1er défi

    le 8 septembre 2014 à 09:03, par Daniate

    Bonjour,
    4 cercles de même rayon peuvent générer 12 points, par exemple en plaçant les centres aux sommets d’un carré avec un rayon égal au côté, ou de façon plus compacte en plaçant les centres aux sommets et au centre d’un triangle équilatéral avec un rayon égal au côté.

    Répondre à ce message

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