Un défi par semaine

Septembre 2015, 1er défi

4 septembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 36 :

Si l’aire du carré le plus grand est de $16\,\mbox{cm}^2$, combien vaut l’aire de la région coloriée ?

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Solution du 4ème défi de Août :

Enoncé

La réponse est $4$ triplets.

Comme $p$, $q$ et $r$ sont premiers et comme $p+q^2+r^3$ est pair, l’un d’entre eux est égal à $2$. De plus $r<6$ et $q<15$ car $6^3>200$ et $15^2> 200$. Ainsi $r$ est égal à 2, 3 ou 5 et $q$ est égal à 2, 3, 5, 7, 11 ou 13.

Analysons les trois cas suivants :

  • Si $p=2$, alors $q^2 + r^3 = 198$. Mais dans aucun des deux cas, $r=3$ ou $5$, nous ne pouvons avoir $q^2 + r^3 = 198$.
  • Si $q=2$, alors $p + r^3 = 196$. Supposons que $r=5$, alors$p=196-125=71$ qui est premier. On a donc une solution : $(71,2,5)$.

Si l’on suppose maintenant que $r=3$, $p=196-127=169$ qui est divisible par 13. Donc il n’y a pas de solution.

  • Si $r=2$, alors $p + q^2 = 192$. On analyse les 5 cas possibles correspondant aux 5 valeurs possibles de $q$. Si $q=3$, alors $p=183$ divisible par 3.

Si $q=5$, alors $p=167$ qui est premier et nous avons la solution $(167,5,2)$.

Si $q=7$, alors $p=143=11\times 13$.

Si $q=11$, alors $p=71$ qui est premier et nous obtenons la solution $(71,11,2)$.

Si $q=13$, alors $p=23$ et nous avons la solution $(23,13,2)$.

Nous avons ainsi $4$ triplets :

$71 + 2^2 + 5^3 = 200$

$167 + 5^2 + 2^3 = 200$

$71+11^2+2^3 = 200$

$23 + 13^2 + 2^3 = 200.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - AQUARIAGIRL1970 / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2015, 1er défi

    le 4 septembre 2015 à 08:51, par Bernard Hanquez

    Manifestement l’auteur veut nous faire répondre 8, mais la réponse est 7 !

    Répondre à ce message
  • Septembre 2015, 1er défi

    le 4 septembre 2015 à 21:31, par skraty

    Suffit de compter les triangles blanc (18) qui font 0.5 cm2 et de les soustraire à la surf totale. On arrive à 7cm2

    Répondre à ce message
  • Septembre 2015, 1er défi

    le 5 septembre 2015 à 08:27, par sigma

    Notons A l’aire de la région coloriée et B celle de la région non coloriée.
    On a A = 16 - B .
    On peut remarquer que la région non coloriée est la réunion de 18 régions non coloriées toutes identiques et où 16 sont directement observables et les deux autres sont perçues quand on trace une des diagonales du petit carré central.

    On a donc B = 18*x où x désigne l’air d’une des 18 régions non coloriées signalées ci-dessus.

    Le petit carré situé dans l’angle gauche haut à moitié colorié du carré père (16cm^2) est de côté 1cm. Ceci vient du fait que si nous partitionnons le carré en 16 carrés de côté 1 cm chacune, notre carré de l’angle gauche fera partie de la partition.

    Ainsi x = 1/2 cm^2 et par suite B = 9 cm^2

    Soit donc A = 7 cm^2.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2015, 1er défi

    le 5 septembre 2015 à 12:32, par Idéophage

    Rholala, vous vous prenez la tête pour rien ! Il suffit de compter le nombre de pixels verts et le nombre de pixels blancs à l’intérieur du carré. Je trouve respectivement et approximativement 10627 et 13384. Du coup, je calcule 16 * 10627 / (10627 + 13384) et je trouve à peu près 7.081. On arrondi à 7 puisque le résultat attendu est probablement rond, et voilà.

    Ou alors, on imprime le dessin sur une feuille, on découpe et sépare les parties vertes des blanches, on prend une balance de précision précise et reproduit le même calcul qu’avec les pixels.

    Alternativement, on prend deux groupes d’imprimantes. Avec le premier groupe, on imprime en continu des feuilles avec uniquement le vert du dessin et avec l’autre on imprime un carré vert de même taille. On compare ensuite les coûts en encre des deux groupes d’imprimantes sur une durée assez grande (astuce : utiliser les feuilles recto-verso pour réduire le coût en papier qui nous est inutile).

    On peut également imprimer plusieurs de ces feuilles, les découper en prenant soin de n’avoir plus que des petits bouts unicolores, placer le tout dans un grand sac et estimer les proportions par tirage au hasard.

    Bref, tout cela revient au même.

    Répondre à ce message

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