Un défi par semaine

Septembre 2015, 3e défi

Le 18 septembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 38 :

Déterminer toutes les paires $(x,y)$ de nombres réels telles que

$xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}+x+y.$

Solution du 2ème défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $288\,\mbox{cm}^2$.

Dans la figure suivante, on a tracé deux droites parallèles aux côtés jaunes du rectangle en laissant $12$ cm entre les droites et les côtés jaunes et $12\,\mbox{cm}$ entre elles. En outre, on a tracé une droite parallèle aux côtés rouges qui passe par les milieux des côtés jaunes.

PNG - 18.2 ko

Ces droites divisent le rectangle en $6$ carrés égaux, de côté $12\,\mbox{cm}$. Considérons les deux du centre. Tous les points à l’intérieur de ces carrés sont à plus de $12\,\mbox{cm}$ des côtés jaunes : leur distance aux côtés rouges étant inférieure ou égale à $12\,\mbox{cm}$, ils devront être peints en rouge.

Dans les $4$ autres carrés, traçons les diagonales comme indiqué sur la figure ci-dessous.

PNG - 20.2 ko

Il est maintenant clair que les parties coloriées dans ces $4$ carrés sont plus proches des côtés jaunes, alors que les parties laissées en blanc sont plus proches des côtés rouges. Ainsi, nous devons calculer l’aire de ces quatre triangles coloriés. Comme chacun d’eux est la moitié d’un carré d’aire $(12\times 12)\,\mbox{cm}^2$, on conclut que l’aire jaune totale est de

$4\left(\frac{12 \times 12}{2}\right) =288\,\mbox{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - AQUARIAGIRL1970 / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • 3me defi d eseptembre

    le 18 septembre 2015 à 08:27, par zgreudz

    Je trouve l’hyperbole x y = 1 plus les droites x = 1 et aussi y = 1 (privées respectivement des points y=0 et x=0
    A+

    Répondre à ce message
  • Septembre 2015, 3e défi

    le 18 septembre 2015 à 18:15, par nef2240

    Bonjour,
    j’aime pas le calcul mais quand il faut il faut égalité à dire que (xy-1) (xy + 1 - x - y) = 0 (4 lignes pour arriver)
    donc y=1/x ou y=1. Donc paire =(x,1/x), (x,1) avec x non nul.

    Répondre à ce message
    • Septembre 2015, 3e défi

      le 18 septembre 2015 à 18:17, par nef2240

      évidemment symétrie (x,1/x) ;(x,1) et (1,x) avec x différent de 0.

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM