Un défi par semaine

Septembre 2015, 4e défi

Le 25 septembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 39 :

Trois nombres premiers ont les formes suivantes : $AA$, $BAB$ et $AAAC$. En sachant que chaque lettre représente un chiffre différent, quelles sont les valeurs possibles pour $B$ ?

Solution du 3ème défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $(1,y)$, $(x,1)$ et $\left(x, \frac{1}{x}\right)$, avec $x$ et $y$ non nuls.

Remarquons que $x\neq 0$ et $y\neq 0$. En ajoutant $1$ de chaque côté de l’équation et en factorisant, on obtient :

$xy-x-y+1 = \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1$

$(x-1)(y-1) = \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1$

$xy(x-1)(y-1) = xy\left(\frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1\right)$

$xy(x-1)(y-1) = 1-y-x+xy$

$xy(x-1)(y-1) = (x-1)(y-1)$

$(xy-1)(x-1)(y-1) = 0.$

Ainsi, $x = 1$, $y = 1$ ou $xy = 1$.

Si $x=1$, alors $(1, y)$ est une solution pour tout nombre réel $y$ non nul. Si $y = 1$, $(x, 1)$ est une solution pour tout nombre réel $x$ non nul. Si $xy=1$, alors $y=\frac{1}{x}$ et les solutions sont les couples $\left(x, \frac{1}{x}\right)$ pour tout nombre réel $x$ non nul.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - AQUARIAGIRL1970 / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2015, 4e défi

    le 26 septembre 2015 à 17:06, par ROUX

    En tous les cas, moi, je ne me suis pas ennuyé : vous m’avez bel et bien cerné car j’ai bien évidemment beaucoup apprécié cette belle astuce.
    Ah oui, je peux toujours trouver un nombre de fois entier qu’un nombre premier supérieur à 10 est à ajouter (ou à soustraire) à un nombre impair assez grand car les nombres premiers supérieurs à 10 se terminent tous par 1, 3, 7 ou 9 et que dans les tables de multiplication de ces 4 chiffres, les unités prennent toutes les valeurs des unités...
    Alors je tente, en direct.
    5843 est-il divisible par 47 ?
    Bah là, facile, j’ajoute 47 et je trouve 5890.
    Je prends 589 et là j’ajoute 3*47=141 et je trouve 730.
    Je prends 73, et, donc, non, 5843 n’est pas divisible par 47.
    MERCI BEAUCOUP !!!

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