Un défi par semaine

Septembre 2016, 1er défi

2 septembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 36 :

Trouver tous les nombres entiers positifs $n$ tels que $n^2-10n+23$,
$n^2-9n+31$ et $n^2-12n+46$ soient des nombres premiers.

Solution du 4e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $2240$ et $2239$.

Une condition du problème est que la différence entre un nombre de $n$ chiffres et un nombre de $n-1$ chiffres soit $2016$, d’où $n \geq 4$.

Si $n=5$, la plus petite différence que l’on peut obtenir avec deux nombres vérifiant les conditions du problème est $9000$, qui s’obtient lorsque le nombre de $5$ chiffres est $10\, 000$ et que le nombre de $4$ chiffres est $1 000$. Pour $n>5$, la condition ne peut pas être satisfaite non plus. Ainsi on a nécessairement $n=4$.

Soit ${abcd}=10^3 a + 10^2 b + 10c + d$ le nombre formé des chiffres $a, b,c$ et $d$. On souhaite que :

$10^3 a + 10^2 b + 10c + d = 10^2 a + 10b + c + 2016$

$= 10^3 \times 2+ 10^2 a + 10(b+1) + (c+ 6).$

Ainsi, $a=2$, $a=b$. Donc

$10c+d = 30+(c+6)$

$9c = 36-d.$

Alors $d$ vaut 0 ou 9, et nous en déduisons que les nombres $2240$ et $2239$ sont ceux qui satisfont la condition du problème.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2016, 1er défi

    le 2 septembre à 06:54, par Al_louarn

    Il n’y a que 2 solutions : $3$ et $7$.

    Si $n$ est pair alors $n^2 - 12n + 46$ est pair et donc égal à $2$ (seul premier pair), ce qui se ramène à $n(12-n)=44$. Donc $n$ est un diviseur de $44=2 \times 2 \times 11$ et $n<12$ mais ni $1$, ni $2$, ni $4$, ni $11$ ne convient.

    Si $n$ est impair alors $n^2 - 10n + 23$ est pair et donc égal à $2$, ce qui se ramène à $n(10-n)=21=3 \times 7$, donc $n=3$ ou $n=7$.
    Pour $n=3$ les $3$ formules donnent respectivement $2$, $13$, $19$ qui sont bien tous premiers.
    Pour $n=7$ les $3$ formules donnent respectivement $2$, $17$, $11$, qui sont bien tous premiers.

    Répondre à ce message
    • Septembre 2016, 1er défi

      le 2 septembre à 09:47, par B !gre

      Je ne sais pas si on considère les nombres négatifs comme pouvant être premiers dans cet énoncé. Si c’est le cas, on trouve une solution de plus (5).

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    • Septembre 2016, 1er défi

      le 2 septembre à 16:26, par ruello

      autre proposition :
      A l’aide d’un tableur, on peut remarquer que les entiers 3, 5, 7 conviennent. ( en considérant que -2 est premier pour n = 5)
      n² -12n + 46 = ( n -6) ² + 10 , donc n doit impair sinon n² -12n + 46 est pair et strictement supérieur à 2.

      Si n est impair alors n² -10 n + 23 est pair, de plus, n² -10 n + 23 = ( n -5) ² -2,
      on en déduit que si n > 7 alors n² -10n +23 > 2.
      Dès que n est impair et strictement supérieur à 7, n² -10 n + 23 n’est pas premier.

      Par conséquent seuls les entiers 3, (5) , 7 répondent au problème.

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      • Septembre 2016, 1er défi

        le 5 septembre à 17:48, par Daniate

        Bonjour,

        Pour faire entrer les négatifs dans la famille des nombres premier il faudrait en changer la définition en : n est premier s’il a exactement 4 diviseurs, mais pourquoi pas ?

        Pour ma part j’ai raisonné sur la différence entre la 3ème et la première : -2n+23 est évidement impaire ce qui impose que l’un des deux est 2 ( ou -2) . On obtient deux équations du second degré mais la 3ème ne donne aucune solution réelles dans les deux cas , la première donne 3 et 7 comme solutions avec 2 et donne 5 avec -2. Il reste à vérifier que les autres expressions donnent bien des nombres premiers.

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