Septembre 2016, 1er défi

Le 2 septembre 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 36 :

Trouver tous les nombres entiers positifs $n$ tels que $n^2-10n+23$,
$n^2-9n+31$ et $n^2-12n+46$ soient des nombres premiers.

Solution du 4e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $2240$ et $2239$.

Une condition du problème est que la différence entre un nombre de $n$ chiffres et un nombre de $n-1$ chiffres soit $2016$, d’où $n \geq 4$.

Si $n=5$, la plus petite différence que l’on peut obtenir avec deux nombres vérifiant les conditions du problème est $9000$, qui s’obtient lorsque le nombre de $5$ chiffres est $10\, 000$ et que le nombre de $4$ chiffres est $1 000$. Pour $n>5$, la condition ne peut pas être satisfaite non plus. Ainsi on a nécessairement $n=4$.

Soit ${abcd}=10^3 a + 10^2 b + 10c + d$ le nombre formé des chiffres $a, b,c$ et $d$. On souhaite que :

$10^3 a + 10^2 b + 10c + d = 10^2 a + 10b + c + 2016$

$= 10^3 \times 2+ 10^2 a + 10(b+1) + (c+ 6).$

Ainsi, $a=2$, $a=b$. Donc

$10c+d = 30+(c+6)$

$9c = 36-d.$

Alors $d$ vaut 0 ou 9, et nous en déduisons que les nombres $2240$ et $2239$ sont ceux qui satisfont la condition du problème.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Septembre 2016, 1er défi

le 2 septembre 2016 à 16:26, par ruello

autre proposition :
A l’aide d’un tableur, on peut remarquer que les entiers 3, 5, 7 conviennent. ( en considérant que -2 est premier pour n = 5)
n² -12n + 46 = ( n -6) ² + 10 , donc n doit impair sinon n² -12n + 46 est pair et strictement supérieur à 2.

Si n est impair alors n² -10 n + 23 est pair, de plus, n² -10 n + 23 = ( n -5) ² -2,
on en déduit que si n > 7 alors n² -10n +23 > 2.
Dès que n est impair et strictement supérieur à 7, n² -10 n + 23 n’est pas premier.

Par conséquent seuls les entiers 3, (5) , 7 répondent au problème.
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