Un défi par semaine

Septembre 2016, 1er défi

Le 2 septembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 36 :

Trouver tous les nombres entiers positifs $n$ tels que $n^2-10n+23$,
$n^2-9n+31$ et $n^2-12n+46$ soient des nombres premiers.

Solution du 4e défi d’Août :

Enoncé

La réponse est $2240$ et $2239$.

Une condition du problème est que la différence entre un nombre de $n$ chiffres et un nombre de $n-1$ chiffres soit $2016$, d’où $n \geq 4$.

Si $n=5$, la plus petite différence que l’on peut obtenir avec deux nombres vérifiant les conditions du problème est $9000$, qui s’obtient lorsque le nombre de $5$ chiffres est $10\, 000$ et que le nombre de $4$ chiffres est $1 000$. Pour $n>5$, la condition ne peut pas être satisfaite non plus. Ainsi on a nécessairement $n=4$.

Soit ${abcd}=10^3 a + 10^2 b + 10c + d$ le nombre formé des chiffres $a, b,c$ et $d$. On souhaite que :

$10^3 a + 10^2 b + 10c + d = 10^2 a + 10b + c + 2016$

$= 10^3 \times 2+ 10^2 a + 10(b+1) + (c+ 6).$

Ainsi, $a=2$, $a=b$. Donc

$10c+d = 30+(c+6)$

$9c = 36-d.$

Alors $d$ vaut 0 ou 9, et nous en déduisons que les nombres $2240$ et $2239$ sont ceux qui satisfont la condition du problème.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2016, 1er défi

    le 5 septembre 2016 à 17:48, par Daniate

    Bonjour,

    Pour faire entrer les négatifs dans la famille des nombres premier il faudrait en changer la définition en : n est premier s’il a exactement 4 diviseurs, mais pourquoi pas ?

    Pour ma part j’ai raisonné sur la différence entre la 3ème et la première : -2n+23 est évidement impaire ce qui impose que l’un des deux est 2 ( ou -2) . On obtient deux équations du second degré mais la 3ème ne donne aucune solution réelles dans les deux cas , la première donne 3 et 7 comme solutions avec 2 et donne 5 avec -2. Il reste à vérifier que les autres expressions donnent bien des nombres premiers.

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