Un défi par semaine

Septembre 2016, 5e défi

Le 30 septembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 40 :

Considérons cinq nombres ordonnés du plus petit au plus grand, $a < b< c < d < e $. Après avoir fait les $10$ additions possibles de deux de ces nombres, on remarque que les trois plus petites sommes sont $32$, $36$ et $37$ alors que les deux plus grandes sont $48$ et $51$. Quelle est la valeur de $e$ ?

Solution du 4e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $135$.

La suite des nombres écrits au tableau est croissante et la plus grande valeur
possible pour un des nombres est le double de la valeur précédente. Remarquons que si deux nombres successifs sont pairs alors tous les suivants le seront aussi. Ainsi, comme le dixième nombre est impair, Jean ne peut écrire
successivement deux nombres pairs.

De plus, le premier nombre inscrit - 1 - étant impair, Jean ne peut écrire alternativement un nombre pair et un nombre impair sans que le dixième nombre soit pair. Il découle de tout cela qu’à un certain moment, Jean doit écrire deux nombres impairs à la suite et comme il cherche à atteindre le plus grand nombre final possible, il doit ne le faire qu’une seule fois. On observe alors que le résultat final ne dépend pas du moment où il décide de faire cette répétition :

1 2 3 5 10 15 30 45 90 135

1 2 3 6 9 15 30 45 90 135

1 2 3 6 9 18 27 45 90 135

1 2 3 6 9 18 27 54 81 135.

Le plus grand nombre impair qu’il peut obtenir est donc $135$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2016, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2016, 5e défi

    le 30 septembre à 09:16, par mesmaker

    La valeur de e vaut 27,5.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2016, 5e défi

    le 30 septembre à 09:44, par gedspilett

    a+b=32 < a+c=36 < a+d=37
    c+e=48 < d+e=51

    si a+c=36 et a+d=37 alors d-c=1

    si c+e=48 et d+e=51 alors d-c=3

    là je bloque !

    Répondre à ce message
    • Septembre 2016, 5e défi

      le 30 septembre à 11:48, par Daniate

      Bonjour, vous négligez un cas pour la 3éme somme, ce peut être b+c. En fait, on peut démontrer que a+d=39. De plus il est question de nombres, mais pas forcément entiers.

      Répondre à ce message
  • Septembre 2016, 5e défi

    le 30 septembre à 13:22, par ROUX

    a<b<c conduit à a+b<a+c et a+b<b+c et a+c<b+c.
    On a alors a+b<a+c<b+c.
    Donc a+b=32, a+c=36 et b+c=37.
    Cela donne c-b=4 et b-a=1.
    Les trois premiers nombres sont donc : a, b=a+1 et c=a+5.

    c<d<e conduit à c+e<d+e.
    Donc c+e=48 et d+e=51.
    Cela donne d-c=3.

    Et donc d=a+8.
    a+(a+1)=32 donne a=15,5.
    a+8+e=51 donne alors e=27,5 soit 10,1166etdesbrouettesirrationnelles.e.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2016, 5e défi

    le 30 septembre à 19:42, par Idéophage

    Qui voit le graphe 2-coloriable ?

    On considère l’ordre produit (lexicographique) sur les couples de lettres. Par exemple (b,c) < (b,d). On a un morphisme d’ordre strict vers ℝ² qu’on compose avec + qui est strictement croissante. On peut visualiser avec un tableau carré. On obtient que a+b doit être la plus petite somme, a+c la deuxième plus petite, d+e la plus grande et c+e la deuxième plus grande.

    On représente la situation par un graphe. Chaque lettre correspond à un nœud, et chaque relation de la forme $X+Y=z$, avec $X$ et $Y$ deux lettres et $z$ un nombre, correspond à une arête entre $X$ et $Y$ étiquetée par $z$. Un chemin entre $X$ et $Y$, constitué d’arêtes étiquetées par $z_1, \dots, z_n$ dit que $X-z_1+z_2-\cdots + (-1)^n z_n + (-1)^{n+1} Y = 0$. Chaque chemin de longueur impaire permet d’ajouter une arête entre ses extrémités.

    Trouver la valeur d’un nœud via des manipulations linéaires est équivalent (ça se montre) à trouver un cycle de longueur impaire le contenant (afin de le joindre à lui-même par une arête). Comme le graphe auquel on a affaire est connexe, il suffit d’un seul cycle impair pour résoudre le système.

    Grâce au chemin de longueur impaire entre $a$ et $d$, et on obtient que a+d=39. Selon l’énoncé, on a alors b+c=37. Cela donne un cycle impair (abc) et permet de résoudre le système. Le cycle qu’on trouve pour $e$ donne $e - 48 + 36 - 32 + 37 - 48 + e=0$, on a bien $2e = 55$.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2016, 5e défi

    le 2 octobre à 12:51, par Celem Mene

    Nous avons :
    I) a + b = 32
    II) a + c = 36
    III) b + c = 37
    IV) c + e = 48
    V) d + e = 51

    En combinant I et II nous obtenons :
    a + c = 36

    • a + -b = -32

    soit c - b = 4 ; c = b + 4

    De même, en combinant I et III :
    VI) c = a + 5

    Et II et III :
    VII) b = a + 1

    En combinant I et VII nous obtenons :
    a + a + 1 = 32

    soit a = 15.5

    Nous avons donc :

    a = 15.5 ; b = 16.5 ; c = 20.5

    Comme c + e = 48, nous avons e = 27.5

    Au passage nous calculons aussi d :
    d + e = 51, donc d = 23.5

    Et nous complétons :
    d = 23.5 ; e = 27.5

    Meilleures salutations.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2016, 5e défi

    le 3 octobre à 15:56, par pierre

    on a
    a+b<a+c<b+d <c+d <c+e<d+e
    b+d <b+e <c+e
    a+c<a+d<a+e<b+e

    on connaît donc a+b = 32 , a+c = 36 , c+e = 48 , d+e= 51
    il y a deux possibilités pour 37, mais a+d est impossible puisque a+c= 36 et que d-c =3

    Répondre à ce message
    • Septembre 2016, 5e défi

      le 3 octobre à 16:12, par pierre

      je corrige, car c’est incompréhensible

      a+b<a+c<b+c< b+d <c+d <c+e<d+e

      b+d <b+e <c+e
      a+c<a+d<a+e<b+e

      la troisième plus petite somme est b+c ou a+d

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM