Un défi par semaine

Septembre 2017, 3e défi

Le 15 septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 37 :

La figure montre une partie d’un polygone régulier. Si l’angle $\widehat{ACD}$ mesure $120^\circ$, combien de côtés possède le polygone ?

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Solution du 2e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $3456$ nombres.

Remarquons d’abord qu’il y a dix couples de chiffres dont la somme vaut $9$ : $(0,9)$, $(1,8)$, $(2,7)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, $(7,2)$, $(8,1)$ et $(9,0)$.

Comme le nombre a $10$ chiffres, on a $a \neq 0$, donc le couple $(a,j)$ peut valoir n’importe lequel des couples possibles, sauf le premier. Ensuite, le couple $(b,i)$ peut prendre toutes les valeurs sauf $(a,j)$ et $(j,a)$, ce qui laisse $8$ possibilités. De la même façon, il reste $6$ possibilités pour $(c,h)$, les couples $(a,j)$, $(j,a)$, $(b,i)$, $(i,b)$ étant maintenant exclus, puis $4$ possibilités pour $(d,g)$, et enfin $2$ pour $(e,f)$. Au total, il y a donc $9\times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3456$ nombres vérifiant les conditions de la question.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Commentaire sur l'article

  • Septembre 2017, 3e défi

    le 15 septembre à 08:28, par Al_louarn

    Soit $n$ le nombre de côtés, $\alpha$ l’angle en chaque sommet, et $O$ le centre du polygone.
    On calcule la somme des angles de $OBC$. On a $\widehat{BOC} = \frac{360}{n}$ et $\widehat{OBC}=\widehat{BCO}=\frac{\alpha}{2}$ donc $\frac{360}{n} + \alpha = 180$, puis $n=\frac{360}{180 - \alpha}$.
    Pour trouver $\alpha$ on fait la somme des angles de $ABC$. On a $\widehat{ABC} = \alpha$ et $\widehat{CAB}=\widehat{BCA}=\alpha-120$, donc $\alpha + 2(\alpha - 120) = 180$, puis $\alpha=140$.
    On en déduit $n=9$.

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    • Septembre 2017, 3e défi

      le 15 septembre à 09:12, par amic

      Ou plus simplement, on regarde l’angle au centre passant par A et D (la portion du cercle qui ne contient pas B et C). Il fait donc 240°, soit deux tiers du cercle. Il y a donc un tiers du cercle qui correspond aux trois côtés AB, BC, CD. Donc en tout neuf côtés.

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  • Septembre 2017, 3e défi

    le 17 septembre à 19:46, par ROUX

    Pour n côtés, l’angle AOC est égal à 2*360/n=4*180/n.
    L’angle ACO vaut donc [180-4*180/n]/2.
    L’angle COD vaut 360/2n=2*180/n.
    L’angle OCD vaut donc [180-2*180/n]/2.
    L’angle ACD est égal à la somme de ACO et de OCD soit 90 - 360/n + 90 - 180/n ou encore 180 - 180*3/n ou 180*(n - 3)/n.
    On résout alors 180*(n - 3)/n = 120 qui donne n = 9.

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  • Encore une solution.

    le 20 septembre à 19:42, par Carlo

    Dans le triangle ACD, la somme des angles intérieurs $\widehat{CAD}+\widehat{CDA}=60^\circ$. L’angle $\widehat{CDA}$ est le double de l’angle $\widehat{CAD}$ car il sous-tend l’arc $ABC$ qui est le double de l’arc $CD$. Donc $\widehat{CAD}=20^\circ$ et $\widehat{CDA}=40^\circ$.
    Les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{CAD}$ sont égaux, car ils ont leurs sommets à la circumférence et ils sous-tendent le même arc $CD$. Les angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{CBD}$ sont égaux par symétrie.
    Donc $\widehat{BCD}=\widehat{BCA}+\widehat{ACD}=140^\circ$. Alors $\widehat{BCO} =70^\circ$ et $\widehat{BOC}=40^\circ$.
    Enfin le polygone a $360^\circ / 40^\circ = 9$ côtés.

    La solution que je préfère a été écrite par amic. Elle est simple et belle, au sens du libre de Eordos. Chapeau !

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  • Deuxième faute.

    le 20 septembre à 19:53, par Carlo

    Circonférence et non circumférence. Pardon.

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