Un défi par semaine

Septembre 2017, 4e défi

Le 22 septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 38 :

Les nombres réels $x$, $y$ et $z$ satisfont aux équations $x+y+z=18$ et $\dfrac 1x + \dfrac 1y + \dfrac 1z = 23$. Quelle est la valeur de $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}$ ?

Solution du 3e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $9$ côtés.

Un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles intérieurs la même mesure. Supposons que le polygone ait $n$ côtés. Soit $O$ le centre du polygone et joignons $O$ à chacun des sommets $A$, $B$, $C$, $D$, etc.

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Comme le polygone est régulier, $AB=BC$ et le triangle $ABC$ est isocèle. En outre, la somme des angles intérieurs du polygone vaut $n \times 180^\circ - 360^\circ$. Ainsi, l’angle $\widehat{ABC}$ mesure

$\frac{n \times 180^\circ - 360^\circ}n = \frac{n-2}n \times 180^\circ.$

Comme $\widehat{ACD} = 120^\circ$, on a

$\widehat{BCA} = \widehat{BAC} = \frac{n-2}n \times 180^\circ - 120^\circ.$

La somme des angles d’un triangle valant $180^\circ$, on en déduit

$180^\circ = 2\left( \frac{n-2}n\times 180^\circ -120^\circ\right) + \frac{n-2}n\times 180^\circ$

$420^\circ = 3 \times \frac{n-2}n \times 180^\circ$

$\frac{7}{9} = \frac{n-2}{n}$

$n = 9,$

et le polygone a $9$ côtés.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2017, 4e défi

    le 22 septembre à 06:57, par Al_louarn

    Il suffit de multiplier les 2 sommes connues pour trouver la somme inconnue $s$ :
    $(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{x}{z} + 1 + \dfrac{y}{x} + 1 + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{z}{y} + 1$
    $18 \times 23 = s+3$
    $s=411$

    Répondre à ce message

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