Un défi par semaine

Septembre 2017, 5e défi

Le 29 septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 39 :

En choisissant au hasard un nombre de $0$ à $999$, quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ses chiffres dépasse $5$ ?

Solution du 4e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $411$.

En multipliant les équations, on obtient

$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) = 18 \times 23,$

$1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1 = 414,$

d’où l’on déduit $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=414-3=411$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2017, 5e défi

    le 29 septembre à 08:10, par Al_louarn

    Parmi les $1000$ nombres de $0$ à $999$, ceux qui n’ont pas la propriété demandée sont tous ceux dont les chiffres sont entre $0$ et $5$ (inclus). A part $0$, ils sont tous formés d’un chiffre entre $1$ et $5$, suivi de $k$ chiffres entre $0$ et $5$, avec $0 \leq k \leq 2$. Il y en a donc $1 + 5 \times (6^0+6^1+6^2)=216$.
    La probabilté qu’un nombre ait au moins un chiffre dépassant $5$ est donc $1 - \dfrac{216}{1000} = 0,784$

    Répondre à ce message
    • Septembre 2017, 5e défi

      le 29 septembre à 11:35, par Niak

      Oui, on peut ajouter qu’il n’était pas nécessaire de distinguer les cas selon le nombre de chiffres : après votre première phrase, on peut directement dénombrer $6^3 = 216$ tels nombres.

      Répondre à ce message
      • Septembre 2017, 5e défi

        le 29 septembre à 14:07, par Al_louarn

        Effectivement ! Je me disais bien aussi que ce $216$ avait un air de déjà vu...

        Au passage je me demande s’il n’y aurait pas un moyen simple de trouver directement le résultat sans passer par le complémentaire, d’autant que $784 = 28^2$ , mais c’est peut-être juste un hasard ?

        Répondre à ce message
        • Septembre 2017, 5e défi

          le 29 septembre à 17:32, par Niak

          Je dirais que passer par le complémentaire reste la solution la plus simple et naturelle. Je vois deux manières de compter « directement » le résultat, mais elles sont plus compliquées...

          1. Soit $n_k$ le nombre de nombres d’au plus trois chiffres ayant exactement $0\leq k\leq3$ chiffres dépassant $5$. On a $n_k = {3 \choose k}4^k6^{3-k}$ et l’on cherche $\sum_{k=1}^3n_k = 432+288+64 = 784$. Au passage, on reconnaît bien sûr $\sum_{k=0}^3n_k = (4+6)^3$ et $n_0=6^3$ le complémentaire.

          2. Soit $A_k$ l’ensemble des nombres d’au plus trois chiffres dont le $k$-ième chiffre dépasse $5$. On cherche $|A_0 \cup A_1 \cup A_2| = |A_0|+|A_1|+|A_2| - |A_0\cap A_1|-|A_0\cap A_2|-|A_1\cap A_2|+|A_0\cap A_1\cap A_2|$ par inclusion-exclusion. Ce qui donne $3\times4\times10^2 - 3\times4^2\times 10 + 4^3 = 784$.

          Répondre à ce message
  • Septembre 2017, 5e défi

    le 30 septembre à 22:54, par drai.david

    Et plus généralement, si on prend pour énoncé :
    « En choisissant au hasard un nombre de 0 à 10n - 1, quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ses chiffres dépasse k ? »,
    la réponse est $p=1-\left ( \frac{k+1}{10} \right )^n$

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM