Un défi par semaine

Septembre 2017, 5e défi

El 29 septiembre 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 39 :

En choisissant au hasard un nombre de $0$ à $999$, quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ses chiffres dépasse $5$ ?

Solution du 4e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $411$.

En multipliant les équations, on obtient

$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) = 18 \times 23,$

$1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1 = 414,$

d’où l’on déduit $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=414-3=411$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Septembre 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Comentario sobre el artículo

  • Septembre 2017, 5e défi

    le 29 de septiembre de 2017 à 08:10, par Al_louarn

    Parmi les $1000$ nombres de $0$ à $999$, ceux qui n’ont pas la propriété demandée sont tous ceux dont les chiffres sont entre $0$ et $5$ (inclus). A part $0$, ils sont tous formés d’un chiffre entre $1$ et $5$, suivi de $k$ chiffres entre $0$ et $5$, avec $0 \leq k \leq 2$. Il y en a donc $1 + 5 \times (6^0+6^1+6^2)=216$.
    La probabilté qu’un nombre ait au moins un chiffre dépassant $5$ est donc $1 - \dfrac{216}{1000} = 0,784$

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    • Septembre 2017, 5e défi

      le 29 de septiembre de 2017 à 11:35, par Niak

      Oui, on peut ajouter qu’il n’était pas nécessaire de distinguer les cas selon le nombre de chiffres : après votre première phrase, on peut directement dénombrer $6^3 = 216$ tels nombres.

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      • Septembre 2017, 5e défi

        le 29 de septiembre de 2017 à 14:07, par Al_louarn

        Effectivement ! Je me disais bien aussi que ce $216$ avait un air de déjà vu...

        Au passage je me demande s’il n’y aurait pas un moyen simple de trouver directement le résultat sans passer par le complémentaire, d’autant que $784 = 28^2$ , mais c’est peut-être juste un hasard ?

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        • Septembre 2017, 5e défi

          le 29 de septiembre de 2017 à 17:32, par Niak

          Je dirais que passer par le complémentaire reste la solution la plus simple et naturelle. Je vois deux manières de compter «directement» le résultat, mais elles sont plus compliquées...

          1. Soit $n_k$ le nombre de nombres d’au plus trois chiffres ayant exactement $0\leq k\leq3$ chiffres dépassant $5$. On a $n_k = {3 \choose k}4^k6^{3-k}$ et l’on cherche $\sum_{k=1}^3n_k = 432+288+64 = 784$. Au passage, on reconnaît bien sûr $\sum_{k=0}^3n_k = (4+6)^3$ et $n_0=6^3$ le complémentaire.

          2. Soit $A_k$ l’ensemble des nombres d’au plus trois chiffres dont le $k$-ième chiffre dépasse $5$. On cherche $|A_0 \cup A_1 \cup A_2| = |A_0|+|A_1|+|A_2| - |A_0\cap A_1|-|A_0\cap A_2|-|A_1\cap A_2|+|A_0\cap A_1\cap A_2|$ par inclusion-exclusion. Ce qui donne $3\times4\times10^2 - 3\times4^2\times 10 + 4^3 = 784$.

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  • Septembre 2017, 5e défi

    le 30 de septiembre de 2017 à 22:54, par drai.david

    Et plus généralement, si on prend pour énoncé :
    «En choisissant au hasard un nombre de 0 à 10n - 1, quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ses chiffres dépasse k ?»,
    la réponse est $p=1-\left ( \frac{k+1}{10} \right )^n$

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