Un défi par semaine

Septembre 2017, 5e défi

Le 29 septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 39 :

En choisissant au hasard un nombre de $0$ à $999$, quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ses chiffres dépasse $5$ ?

Solution du 4e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $411$.

En multipliant les équations, on obtient

$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) = 18 \times 23,$

$1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1 = 414,$

d’où l’on déduit $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=414-3=411$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

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  • Septembre 2017, 5e défi

    le 29 septembre 2017 à 08:10, par Al_louarn

    Parmi les $1000$ nombres de $0$ à $999$, ceux qui n’ont pas la propriété demandée sont tous ceux dont les chiffres sont entre $0$ et $5$ (inclus). A part $0$, ils sont tous formés d’un chiffre entre $1$ et $5$, suivi de $k$ chiffres entre $0$ et $5$, avec $0 \leq k \leq 2$. Il y en a donc $1 + 5 \times (6^0+6^1+6^2)=216$.
    La probabilté qu’un nombre ait au moins un chiffre dépassant $5$ est donc $1 - \dfrac{216}{1000} = 0,784$

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