Un défi par semaine

Septembre 2018, 3e défi

Le 21 septembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 38

Trouver tous les nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$, tels que

\[\begin{eqnarray*} a+b+c+d & = & 20\\ ab+ac+ad+bc+bd+cd & = & 150. \end{eqnarray*}\]

Solution du 2e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $336$

Appelons $x$ le numéro de la maison d’Anne.
Alors Anne a obtenu $6x$ ou $7x$, puis Jean a eu $6x+6$, $6x+7$, $7x+6$ ou $7x+7$, et finalement Tania a obtenu $6x$, $6x-1$, $6x+1$, $7x$, $7x-1$ ou $7x+1$. Comme le résultat de Tania est égal à 2015, le nombre $x$ est égal à $2014$, $2015$ ou $2016$ divisé par 6 ou 7.
De ces trois nombres, seul 2016 est divisible par 6 ou par 7, et on a
\[ \frac{2016}{6}=336 \qquad \frac{2016}{7}=288. \]
Par conséquent, le numéro de la maison d’Anne est 336 ou 288. Or 288 est impossible puisqu’aucun de ses chiffres n’est la somme des deux autres, au contraire de 336, puisque 6 est la somme $3+3$.
Donc Anne habite au numéro $336$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre à 11:54, par Sidonie

    Le problème est équivalent à trouver a+b+c+d = 20 et a²+b²+c²+d² = 100 dont une réponse évidente est a = b = c = d = 5. Une autre solution s’écrirait a = 5 + x, b = 5 + y, c = 5 +z, d = 5 +u avec x + y + z + u =0. En élevant au carré et en sommant il vient x²+y²+z²+u²=0 ce qui implique x=y=z=0 et donc une seule solution.

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre à 12:01, par Poss Jean-Louis

    Il est évident qu’une solution est : $a = b = c = d = 5$. Est-ce la seule ?

    Posons pour simplifier : $a = u + 5$, $b = v + 5$, $c = w + 5$ et $d = z + 5$. On obtient le système :

    $u+v+w+z = 0$

    $uv+uw+uz+vw+vz+wz+15(u+v+w+z) = 0$

    De la première équation on déduit : $z = −(u + v + w)$ et, en reportant, la deuxième équation donne :
    $u^2 +v^2 +w^2 +uv+vw+wu=0$.

    Transformons la forme quadratique $q = u^2 + v^2 + w^2 + uv + vw + wu$ en somme de
    carrés :

    $q = 􏰁(u+ \frac{v+w}{􏰂2})^2 −(􏰁v+\frac{w}{􏰂2})^2 +v^2 +w^2 +vw = (􏰁u+ \frac{v+w}{􏰂2})^2 + \frac{3}{4}(􏰁v+ \frac{w}{3})^2 + \frac{2}{3}w^2$

    Donc $q$ est positive ou nulle et s’annule seulement sur l’ensemble des nombres réels pour $u = v = w = 0$, ce qui donne $z = 0$.

    La seule solution réelle du système d’équations est donc :
    $(a,b,c,d) = (5,5,5,5)$.

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre à 21:24, par bistraque

    Peut-être moins formel : intuitivement l’intersection d’un hyperplan et d’une d’hypershère en dimension n est soit vide, soit un point de tangence, soit une hypersphère de dimension n-1. Courbure tout ça ...

    En référence au commentaire de Sidonie ci-dessus, les solutions cherchées sont donc l’intersection de l’hypersphère S de rayon 10 centrée à l’origine et de l’hyperplan H d’équation « a+b+c+d=20 » dont la normale est donnée par u=(1/2, 1/2, 1/2, 1/2). Puisque la distance de H à l’origine = 10, H et S sont tangents, donc une seule solution : 10.u=(5, 5, 5, 5).

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    • Septembre 2018, 3e défi

      le 22 septembre à 23:35, par Sidonie

      Superbe démonstration de l’unicité. Bravo !

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 21 septembre à 21:31, par bistraque

    ... et j’oubliais bien sûr la généralisation :
    a+b+...+n = 20
    a²+b²+...+n² = 150

    en dimension 2 et 3 pas de solution, en dimension 4 une solution, en dimension n supérieure ou égale à 5 une hypersphère de dimension n-1

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    • Septembre 2018, 3e défi

      le 23 septembre à 11:35, par Sidonie

      Et en reprenant votre magnifique idée, si on note a1, a2, .....an les nombres cherchés, S leur somme et P la somme des aixaj avec i<j alors l’unicité est donnée pour P=Sx(n-1)/2n, aucune solution pour une valeur inférieure de P et votre fameuse hypersphère de dimension n-1 pour une valeur supérieure de P.

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  • Septembre 2018, 3e défi

    le 23 septembre à 11:42, par Pierre Cami

    Si a ,b, c, d réels on pose a=5+2*x, b=5+x, c=5-x et d=5-2*x, soit a+b+c+d=20
    ab+ac+ad+bc+bd+cd=25+25+25+25+255*x*x=150-5*x*x=150 soit x=0
    donc pas de solution autre qu’avec l’entier 5 et a=b=c=d=5.

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