Un défi par semaine

Septembre 2018, 4e défi

Le 28 septembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 39
Combien d’entiers $m$ entre $10$ et $100$ sont tels que $m^2+m-90$ est divisible par $17$ ?

Solution du 3e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $a=b=c=d=5$.

Comme $a+b+c+d=20$ on obtient que
\[ \begin{eqnarray*} 400 &= &(a+b+c+d)^2\\ & = &a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & a^2+b^2+c^2+d^2+2 \times 150. \end{eqnarray*}\]

d’où $a^2+b^2+c^2+d^2=100$.

D’autre part, on a
\[ \begin{eqnarray*} & & (a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2\\ & = & 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & 3\times100-2\times150 =0. \end{eqnarray*}\]

Comme $(x-y)^2$ est positif ou nul pour n’importe quels nombres réels $x, y$, on a alors
\[a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,\]
et par conséquent $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 septembre à 09:26, par Al_louarn

    $m^2 + m - 90=m^2 + m - 9^2 - 9 = (m-9)(m+9) + m - 9 = (m-9)(m+10)$
    Pour le facteur $m-9$ on trouve $5$ multiples de $17$ entre $10-9=1$ et $100-9=91=5 \times 17 + 6$ : de $17 \times 1$ à $17 \times 5$
    Pour le facteur $m+10$ on trouve $5$ multiples de $17$ entre $10+10=20=17+3$ et $100+10=110=6 \times 17 + 8$ : de $17 \times 2$ à $17 \times 6$

    Donc $10$ solutions en tout car $m-9$ et $m+10$ ne peuvent être simultanément multiples de $17$.

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  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 septembre à 10:58, par Pierre Cami

    A l’ancienne : m*m + m - (90+17*a) = 0
    Déterminant 1+4(90+17a) carré pour a = 30, 36, 96, 106, 196, 210, 330, 348, 498, 520.
    Soit m = 24, 26, 41, 43, 58, 60, 75, 77, 92, 94 les 10 solutions

    Répondre à ce message
  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 septembre à 18:37, par ROUX

    A la physicienne 😉
    J’ai voulu (pourquoi ?) virer le « m ».
    Donc j’ai écrit que m^2 + m -5 =17*k puis j’ai écrit ensuite m=a+8 et grâce au double produit 2*8*a ajouté au a du m, les 17*a ont disparu dans le k’ de a^2 + 8^2 + 8 - 5 = 17*k’.
    Cela s’écrit aussi a^2 + 67 = 17*k’ ou a^2 + 4*17 - 1 = 17*k’ et, zou, nouvelle disparition mais cette fois-ci dans k’’ : a^2 - 1 = 17*k’’.
    Ainsi (a -1)*(a + 1) = 17*k’’.
    Si k’’ = 1 alors a = 18 ou 16 et donc m = 26 ou 24.
    Au maximum, on a k’’ = 5 et a = 84 ou 86 et m = 92 ou 94.
    Donc 10 valeurs pour m compris entre 10 et 100.
    Mais pourquoi pas de 0 à 100 ce qui autorisait m = 9 et 7 (avec k’’ = 0) ?

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  • Septembre 2018, 4e défi

    le 28 septembre à 19:07, par ROUX

    🍏 (Proud Of Me) car j’ai une martingale 😉
    Combien de gnagna pour que m^2 + 3*m -251 soit multiple de 23 😉

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  • Septembre 2018, 4e défi

    le 29 septembre à 13:33, par Poss Jean-Louis

    À la GAUSS, pour s’amuser…

    Dans le corps $\mathbb{Z}/17 \mathbb{Z}$ factorisons le trinôme :

    $\stackrel{\circ}{m}^2+\stackrel{\circ}{m}-\stackrel{\circ}{90}=\stackrel{\circ}{m}^2+\stackrel{\circ}{18}\, \stackrel{\circ}{m}-\stackrel{\circ}{90}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{9})^2-\stackrel{\circ}{171}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{9})^2-\stackrel{\circ}{1}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{8})(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{10})$.

    Le trinôme s’annule pour $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{(-8)}$ et $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{(-10)}$ ou plutôt, dans $\mathbb{Z}/17 \mathbb{Z}$, $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{9}$ et $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{7}$.

    Entre $10$ et $100$ il y a cinq nombres congrus à $9$ modulo $17$ ($26$, $43$, $60$, $77$ et $94$) et cinq nombres congrus à $7$ modulo $17$ ($24$, $41$, $58$, $75$ et $92$).

    Le nombre de solutions est donc égal à dix.

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    • Septembre 2018, 4e défi

      le 30 septembre à 09:37, par ROUX

      m^2+3*m-251 congrue à 0 [23]
      m^2-20*m-21 congrue à 0 [23]
      (m-10)^2-100-21 congrue à 0 [23]
      (m+1)*(m-21) congrue à 0 [23]

      Ok ;-) !

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