Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Septembre 2018, 4e défi

Le 28 septembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 39
Combien d’entiers $m$ entre $10$ et $100$ sont tels que $m^2+m-90$ est divisible par $17$ ?

Solution du 3e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $a=b=c=d=5$.

Comme $a+b+c+d=20$ on obtient que
\[ \begin{eqnarray*} 400 &= &(a+b+c+d)^2\\ & = &a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & a^2+b^2+c^2+d^2+2 \times 150. \end{eqnarray*}\]

d’où $a^2+b^2+c^2+d^2=100$.

D’autre part, on a
\[ \begin{eqnarray*} & & (a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2\\ & = & 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\\ & = & 3\times100-2\times150 =0. \end{eqnarray*}\]

Comme $(x-y)^2$ est positif ou nul pour n’importe quels nombres réels $x, y$, on a alors
\[a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,\]
et par conséquent $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.

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Septembre 2018, 4e défi

le 28 septembre 2018 à 09:26, par Al_louarn

$m^2 + m - 90=m^2 + m - 9^2 - 9 = (m-9)(m+9) + m - 9 = (m-9)(m+10)$
Pour le facteur $m-9$ on trouve $5$ multiples de $17$ entre $10-9=1$ et $100-9=91=5 \times 17 + 6$ : de $17 \times 1$ à $17 \times 5$
Pour le facteur $m+10$ on trouve $5$ multiples de $17$ entre $10+10=20=17+3$ et $100+10=110=6 \times 17 + 8$ : de $17 \times 2$ à $17 \times 6$

Donc $10$ solutions en tout car $m-9$ et $m+10$ ne peuvent être simultanément multiples de $17$.
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Septembre 2018, 4e défi

le 28 septembre 2018 à 10:58, par Pierre Cami

A l’ancienne : m*m + m - (90+17*a) = 0
Déterminant 1+4(90+17a) carré pour a = 30, 36, 96, 106, 196, 210, 330, 348, 498, 520.
Soit m = 24, 26, 41, 43, 58, 60, 75, 77, 92, 94 les 10 solutions
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Septembre 2018, 4e défi

le 28 septembre 2018 à 18:37, par ROUX

A la physicienne 😉
J’ai voulu (pourquoi ?) virer le « m ».
Donc j’ai écrit que m^2 + m -5 =17*k puis j’ai écrit ensuite m=a+8 et grâce au double produit 2*8*a ajouté au a du m, les 17*a ont disparu dans le k’ de a^2 + 8^2 + 8 - 5 = 17*k’.
Cela s’écrit aussi a^2 + 67 = 17*k’ ou a^2 + 4*17 - 1 = 17*k’ et, zou, nouvelle disparition mais cette fois-ci dans k’’ : a^2 - 1 = 17*k’’.
Ainsi (a -1)*(a + 1) = 17*k’’.
Si k’’ = 1 alors a = 18 ou 16 et donc m = 26 ou 24.
Au maximum, on a k’’ = 5 et a = 84 ou 86 et m = 92 ou 94.
Donc 10 valeurs pour m compris entre 10 et 100.
Mais pourquoi pas de 0 à 100 ce qui autorisait m = 9 et 7 (avec k’’ = 0) ?
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Septembre 2018, 4e défi

le 28 septembre 2018 à 19:07, par ROUX

🍏 (Proud Of Me) car j’ai une martingale 😉
Combien de gnagna pour que m^2 + 3*m -251 soit multiple de 23 😉
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Septembre 2018, 4e défi

le 29 septembre 2018 à 13:33, par Poss Jean-Louis

À la GAUSS, pour s’amuser…

Dans le corps $\mathbb{Z}/17 \mathbb{Z}$ factorisons le trinôme :

$\stackrel{\circ}{m}^2+\stackrel{\circ}{m}-\stackrel{\circ}{90}=\stackrel{\circ}{m}^2+\stackrel{\circ}{18}\, \stackrel{\circ}{m}-\stackrel{\circ}{90}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{9})^2-\stackrel{\circ}{171}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{9})^2-\stackrel{\circ}{1}=(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{8})(\stackrel{\circ}{m}+\stackrel{\circ}{10})$.

Le trinôme s’annule pour $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{(-8)}$ et $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{(-10)}$ ou plutôt, dans $\mathbb{Z}/17 \mathbb{Z}$, $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{9}$ et $\stackrel{\circ}{m}=\stackrel{\circ}{7}$.

Entre $10$ et $100$ il y a cinq nombres congrus à $9$ modulo $17$ ($26$, $43$, $60$, $77$ et $94$) et cinq nombres congrus à $7$ modulo $17$ ($24$, $41$, $58$, $75$ et $92$).

Le nombre de solutions est donc égal à dix.
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Septembre 2018, 4e défi

le 30 septembre 2018 à 09:37, par ROUX

m^2+3*m-251 congrue à 0 [23]
m^2-20*m-21 congrue à 0 [23]
(m-10)^2-100-21 congrue à 0 [23]
(m+1)*(m-21) congrue à 0 [23]

Ok ;-) !
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Septembre 2018, 4e défi

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