Un défi par semaine
Septembre 2019, 1er défi
El
6 septiembre 2019
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !
Semaine 36
Trouver le plus petit nombre divisible par $999$ qui ne contient pas de $9$ parmi ses chiffres.
Enoncé
La réponse est : $n=87$.
Supposons que $n$ soit un nombre à $m$ chiffres.
Le nombre obtenu après transformation est $2\times10^{m+1}+10n+1$ et on doit donc avoir :
\[
\begin{eqnarray*}
2\times10^{m+1} +10n +1 & = & 33\,n \nonumber \\
2\times10^{m+1} +1 & = & 23\,n.
\end{eqnarray*}\]
Le membre de gauche de cette égalité est un nombre dont le chiffre des unités est $1$.
La seule possibilité pour que $23\,n$ finisse par un $1$ est que le chiffre des unités de $n$ soit $7$.
Si $n=7$, l’égalité n’est pas vérifiée car $23n=161$. On a donc nécessairement $m\ge2$.
Si l’on suppose que
$m=2$ alors $n=10k+7$ avec $k\neq0$ et :
\[\begin{eqnarray*}
2\times10^{3} + 1 & = & 23(10k +7)\\
2001 & = & 230k+161 \\
k &=& 8.
\end{eqnarray*}\]
Le nombre $87$ convient ($2871=33\times87$) et si $m>2$, le nombre considéré sera nécessairement supérieur à $87$. On a donc $n=87$.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.
Disponible en librairie et sur www.pug.fr
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Septembre 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019
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Septembre 2019, 1er défi
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