Un défi par semaine

Septembre 2019, 1er défi

Le 6 septembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 36

Trouver le plus petit nombre divisible par $999$ qui ne contient pas de $9$ parmi ses chiffres.

Solution du 5e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $n=87$.

Supposons que $n$ soit un nombre à $m$ chiffres.

Le nombre obtenu après transformation est $2\times10^{m+1}+10n+1$ et on doit donc avoir :

\[ \begin{eqnarray*} 2\times10^{m+1} +10n +1 & = & 33\,n \nonumber \\ 2\times10^{m+1} +1 & = & 23\,n. \end{eqnarray*}\]
Le membre de gauche de cette égalité est un nombre dont le chiffre des unités est $1$.

La seule possibilité pour que $23\,n$ finisse par un $1$ est que le chiffre des unités de $n$ soit $7$.

Si $n=7$, l’égalité n’est pas vérifiée car $23n=161$. On a donc nécessairement $m\ge2$.

Si l’on suppose que
$m=2$ alors $n=10k+7$ avec $k\neq0$ et :
\[\begin{eqnarray*} 2\times10^{3} + 1 & = & 23(10k +7)\\ 2001 & = & 230k+161 \\ k &=& 8. \end{eqnarray*}\]

Le nombre $87$ convient ($2871=33\times87$) et si $m>2$, le nombre considéré sera nécessairement supérieur à $87$. On a donc $n=87$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2019, 1er défi

    le 6 septembre à 09:02, par Al_louarn

    On cherche le plus petit nombre $n$ de la forme $n=999k$ ne contenant pas le chiffre $9$. On peut supposer $k<1000$ car par exemple $999 \times 666 = 665334$.
    Donc on peut écrire $k=100a + 10b + c$ où $a,b,c$ ne dépassent pas $9$.
    Alors $n=999k=(1000-1)k=1000k-k=1000(k-1)+1000 - k=1000(k-1) + 999 - (k-1)$
    $n=a.10^5+b.10^4+(c-1).10^3+ 9.10^2 + 9.10 + 9 - a.10^2 - b.10 - (c-1)$
    $n=a.10^5+b.10^4+(c-1).10^3+ (9-a).10^2 + (9-b).10 + 9-(c-1)$
    Notons que $k$ n’est pas un multiple de $10$ car $n/10=999k/10$ serait aussi un multiple de $999$ sans le chiffre $9$, mais plus petit que $n$ (on efface le $0$ final).
    Donc $c > 0$, d’où $c-1 \geq 0$. Les chiffres de $n$ sont donc $a, b, c-1, 9-a, 9-b, 9-(c-1)$.
    Pour éviter d’avoir un $9$ parmi les trois derniers chiffres nous devons prendre $a>0$, $b>0$, $c>1$, donc $k \geq 112$.
    La solution est donc $n=999 \times 112 = 111888$.

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  • Septembre 2019, 1er défi

    le 6 septembre à 12:38, par Lina

    En remarquant que 999 = 1000 - 1, si on le multiplie par un nombre N inférieur à 1000 on obtient un nombre à 6 chiffres, les 3 premiers formant N - 1, les 3 derniers étant le complément à 1000 de N. N sera d’autant petit que son complément sera grand or le le plus grand nombre sans 9 est 888 ce qui donne N = 112 et le nombre cherché est 111888.

    Répondre à ce message
  • Septembre 2019, 1er défi

    le 6 septembre à 22:26, par dpmontange

    Soustractions pour la rentrée

    Document joint : multiple_de_999_mini_sans_chiffre_9.pdf
    Répondre à ce message

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