Un défi par semaine

Septembre 2019, 1er défi

Le 6 septembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 36

Trouver le plus petit nombre divisible par $999$ qui ne contient pas de $9$ parmi ses chiffres.

Solution du 5e défi d’août :

Enoncé

La réponse est : $n=87$.

Supposons que $n$ soit un nombre à $m$ chiffres.

Le nombre obtenu après transformation est $2\times10^{m+1}+10n+1$ et on doit donc avoir :

\[ \begin{eqnarray*} 2\times10^{m+1} +10n +1 & = & 33\,n \nonumber \\ 2\times10^{m+1} +1 & = & 23\,n. \end{eqnarray*}\]
Le membre de gauche de cette égalité est un nombre dont le chiffre des unités est $1$.

La seule possibilité pour que $23\,n$ finisse par un $1$ est que le chiffre des unités de $n$ soit $7$.

Si $n=7$, l’égalité n’est pas vérifiée car $23n=161$. On a donc nécessairement $m\ge2$.

Si l’on suppose que
$m=2$ alors $n=10k+7$ avec $k\neq0$ et :
\[\begin{eqnarray*} 2\times10^{3} + 1 & = & 23(10k +7)\\ 2001 & = & 230k+161 \\ k &=& 8. \end{eqnarray*}\]

Le nombre $87$ convient ($2871=33\times87$) et si $m>2$, le nombre considéré sera nécessairement supérieur à $87$. On a donc $n=87$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

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