Un défi par semaine

Septembre 2019, 2e défi

Le 13 septembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 37

Trouver la valeur des étoiles dans la multiplication
suivante :

\[ \begin{array}{ccccccc} & \star & \star &\star & 4 & \star & \star\\ & \times & & & & & 7\\ \hline 6 & 7 & 4 & 3 &\star & 5 & 6 \end{array} \]

Solution du 1er défi de septembre :

Enoncé

La solution est $111\,888$.

Notons $a$ ce nombre. On a donc :
\[ a = 999 b= (1000-1)b =1000b - b. \]

Si le nombre $b$ avait un ou deux chiffres, alors le chiffre des centaines de $1000b-b$ serait un 9.
Par conséquent $b$ est constitué d’au moins trois chiffres.

D’autre part, $b$ ne peut pas se terminer par 0 puisque si c’était le cas on pourrait trouver un nombre strictement plus petit et ne contenant pas de 9 (simplement en divisant par 10).

De plus, le chiffre des dizaines ne peut pas non plus être $0$ car sinon, celui de $a$ serait un $9$. Enfin $b$ ne peut pas se terminer par un $1$ car sinon $a$ se terminerait par un $9$.

Ainsi le nombre minimum pour $b$ est $112$. Dans ce cas, $a=999\times 112=111\,888$ ne contient pas de $9$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Septembre 2019, 2e défi

    le 13 septembre 2019 à 10:44, par François

    En fait, on a une solution unique parce que 7 est premier avec 10 ainsi la multiplication par 7 est une bijection des entiers modulo 10 sur eux-même. [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] s’envoie sur [7,4,1,8,5,2,9,6,3]. Par exemple le 6 chiffre des unités de la troisième ligne ne peut provenir que de 8*7 avec 5 comme retenue à retrancher au 5 chiffre des dizaines de la troisième ligne etc ...

    Par bonheur le nombre de la troisième ligne commence par un 6 sinon il aurait fallu prendre plus d’étoiles.

    Les autres nombres premiers avec 10 inférieurs à 10 sont 1, 3 et 9.
    on a 6743456*1 = 6743456 une étoile en plus sur la première ligne
    on a 8914452*3 = 26743356 une étoile en plus sur la première et troisième ligne
    on a 2971484*9 = 26743356 une étoile en plus sur la première et troisième ligne.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?