Un défi par semaine

Septembre 2019, 2e défi

Le 13 septembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 37

Trouver la valeur des étoiles dans la multiplication
suivante :

\[ \begin{array}{ccccccc} & \star & \star &\star & 4 & \star & \star\\ & \times & & & & & 7\\ \hline 6 & 7 & 4 & 3 &\star & 5 & 6 \end{array} \]

Solution du 1er défi de septembre :

Enoncé

La solution est $111\,888$.

Notons $a$ ce nombre. On a donc :
\[ a = 999 b= (1000-1)b =1000b - b. \]

Si le nombre $b$ avait un ou deux chiffres, alors le chiffre des centaines de $1000b-b$ serait un 9.
Par conséquent $b$ est constitué d’au moins trois chiffres.

D’autre part, $b$ ne peut pas se terminer par 0 puisque si c’était le cas on pourrait trouver un nombre strictement plus petit et ne contenant pas de 9 (simplement en divisant par 10).

De plus, le chiffre des dizaines ne peut pas non plus être $0$ car sinon, celui de $a$ serait un $9$. Enfin $b$ ne peut pas se terminer par un $1$ car sinon $a$ se terminerait par un $9$.

Ainsi le nombre minimum pour $b$ est $112$. Dans ce cas, $a=999\times 112=111\,888$ ne contient pas de $9$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2019, 2e défi

    le 13 septembre à 09:53, par jml83

    963408 x 7 = 6743856
    Les valeurs des étoiles sont donc de gauche à droite :

    • 9, 6, 3, 0 et 8 pour la première ligne
    • 8 pour la troisième.
    Répondre à ce message
    • Septembre 2019, 2e défi

      le 13 septembre à 10:44, par François

      En fait, on a une solution unique parce que 7 est premier avec 10 ainsi la multiplication par 7 est une bijection des entiers modulo 10 sur eux-même. [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] s’envoie sur [7,4,1,8,5,2,9,6,3]. Par exemple le 6 chiffre des unités de la troisième ligne ne peut provenir que de 8*7 avec 5 comme retenue à retrancher au 5 chiffre des dizaines de la troisième ligne etc ...

      Par bonheur le nombre de la troisième ligne commence par un 6 sinon il aurait fallu prendre plus d’étoiles.

      Les autres nombres premiers avec 10 inférieurs à 10 sont 1, 3 et 9.
      on a 6743456*1 = 6743456 une étoile en plus sur la première ligne
      on a 8914452*3 = 26743356 une étoile en plus sur la première et troisième ligne
      on a 2971484*9 = 26743356 une étoile en plus sur la première et troisième ligne.

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    • Septembre 2019, 2e défi

      le 13 septembre à 11:07, par Al_louarn

      Et même si on a une étoile à la place du $7$ en deuxième ligne, il n’y a pas d’autre solution.
      Il faut partir du premier chiffre de la première ligne : si en deuxième ligne on met $x=6$ on obtient au plus $(6 \times 9 + 9 = 63$ pour les deux premiers chiffres de la troisième ligne donc $x > 6$. Avec $x=8$ ou $x=9$ on peut remplir progressivement les étoiles de la première ligne mais en arrivant au $4$ ça ne colle pas.

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  • Septembre 2019, 2e défi

    le 13 septembre à 17:21, par ROUX

    6743C56 = 7*quelquechose.
    Or, 7*8 = 56.
    Le nombre d’unités de quelque chose est donc 8 et le nombre de dizaine de quelquechose est 0.
    Le nombre des centaines de quelquechose étant 4, c=8 car 4*7 = 28.
    Donc quelquechose = 6743856/7 = 963408.

    Répondre à ce message

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