Commentaire sur l'article

• Septembre 2020, 1er défi

  le 4 septembre à 07:49, par Blaxapate

  m=4 fonctionne, avec N=10120, et c’est la plus petite solution.

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 4 septembre à 19:11, par olivier

  Bonjour
  Je n’ai pas été assez rapide pour m = 4
   :-)

  Je signale toutefois que m = 0 fonctionne aussi, associé à N = 0.
  m = 0 est positif
  La somme des chiffres de N = 0 est 0
  qui est divisible par 0 + 2020 puisque 0 = 0 x (0+2020)

  Ce n’est pas dans l’esprit de l’énigme, j’en conviens. Mais bon...

  Sinon on a aussi 7 associé à 1 202 011 = 593 x (7+2020)
   :-)
  Il serait intéressant de déterminer ceux qui ne sont pas féroces parmi les moins de 100...
  Bonne soirée !

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 18:24, par drai.david

  Bonjour Olivier,
  j’ai une conjecture assez solide à ce sujet :
  « $m$ est féroce $\Leftrightarrow m\geq 4$ et $m\not\equiv 2$ $[3]$ ».
  À l’appui, ces résultats numériques obtenus informatiquement :
  4 : 5*2024=10120
  6 : 59235*2026=120010110
  7 : 593*2027=1202011
  9 : 207*2029=420003
  10 : 2*2030=4060
  12 : 66*2032=134112
  13 : 5*2033=10165
  15 : 15*2035=30525
  16 : 17*2036=34612
  18 : 9*2038=18342
  19 : 2*2039=4078
  21 : 12*2041=24492
  22 : 32*2042=65344
  24 : 24*2044=49056
  25 : 17*2045=34765
  27 : 18*2047=36846
  28 : 29*2048=59392
  30 : 39*2050=79950
  31 : 68*2051=139468
  33 : 33*2053=67749
  34 : 107*2054=219778
  36 : 189*2056=388584
  37 : 47*2057=96679
  39 : 183*2059=376797
  40 : 383*2060=788980
  42 : 429*2062=884598
  43 : 476*2063=981988
  45 : 963*2065=1988595
  46 : 803*2066=1658998
  48 : 822*2068=1699896
  49 : 1391*2069=2877979
  51 : 3138*2071=6498798
  52 : 3329*2072=6897688
  54 : 4527*2074=9388998
  55 : 13493*2075=27997975
  57 : 8661*2077=17988897
  58 : 13946*2078=28979788
  60 : 182211*2080=378998880
  61 : 32579*2081=67796899
  63 : 37926*2083=78999858
  64 : 47927*2084=99879868
  66 : 42186*2086=87999996
  67 : 43124*2087=89999788
  69 : 47391*2089=98999799
  70 : 430622*2090=899999980
  72 : 368064*2092=769989888
  73 : 334343*2093=699779899
  75 : 424821*2095=889999995

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 18:52, par olivier

  Bonjour David
  Très sympa cette conjecture ! Bravo, David !
  Je vais me pencher dessus et voir si je peux contribuer à la prouver.
  Tant qu’à faire, je vais essayer de changer 2020 en un entier quelconque pour voir si on peut obtenir quelque chose de plus général.
  Sur la liste que vous fournissez, j’observe que le coefficient multiplicateur explose à partir de 70 et que les coef de 6 et 60 sont atypiques. Il sera intéressant aussi d’étudier ce comportement.
  Olivier

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 19:29, par drai.david

  Pour 2019, la conjecture devient :
  « $m$ est féroce $\Leftrightarrow m\in \left \{ 3 \right \}\cup \left \{ m\geq 7 , m\not\equiv 6\left [ 9 \right ] \right \}$ ».
  Personnellement, je ne vais pas avoir le temps d’approfondir les démonstrations ces temps-ci, alors si vous trouvez quelque chose d’intéressant, ça m’intéresse !
  Bon week-end à vous.

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 19:43, par drai.david

  Pour $2021$ : « $m$ est féroce $\Leftrightarrow m\geq 5$ et $m\not\equiv 1\left [ 3 \right ]$ ».

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 20:12, par olivier

  Je remarque que les critères de divisibilité par 3 et par 9 d’un entier s’expriment à l’aide de la somme de ses chiffres. Il y a matière à creuser.

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 21:45, par olivier

  David,
  J’ai un peu progressé. :-)
  Je change les notations de l’énoncé, par commodité :
  Je note M au lieu de m.
  Je note s(a) la somme des chiffres d’un entier positif a quelconque.
  => On a donc ici s(N)=M
  Je généralise 2020 par la lettre U.
  Je note K le coefficient tel que K(U+M)=N
  Je remarque que N est congru à M modulo 3
  En effet, M est la somme des chiffres de N. On peut donc appliquer le critère de divisibilité par 3 qui dit que a et s(a) sont congrus modulo 3 pour tout a.
  Maintenant, je note respectivement m, k et n les représentants de M, K, et N dans Z/3Z.
  Et je raisonne dans ce corps.
  Comme K(U+M)=N, on a, dans Z/3Z :
  k(u+m)=m (en passant modulo 3, N est « devenu » m)
  soit (k-1)m+ku=0
  Je multiplie par k-1 des deux côtés :
  (k-1)(k-1)m+k(k-1)u=0
  k peut-il valoir 1 ?
  si oui, alors u = 0 => U est donc divisible par 3.
  Ce n’est pas le cas de 2020. Ecartons ce cas pour le moment. On y reviendra un autre jour.
  Dans Z/3Z, tout nombre non nul est son propre inverse : 1x1=1 ; 2x2=1
  donc (k-1)(k-1)=1
  soit :
  m+k(k-1)u=0
  ou encore m= k(1-k)u
  Or, k(1-k) ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1 dans Z/3Z
  donc m=0 ou m=u
  Donc, résultat de ce soir :
  si U n’est pas divisible par 3, alors M est nécessairement congru à 0 ou à U modulo 3.
  Dans le cas de 2020 (congru à 1 modulo 3), M est nécessairement congru à 0 ou 1
  C’est ce que vous avez observé.
  Reste à étudier
  1. la réciproque : si U n’est pas divisible par 3, est-ce que tous les entiers congrus à 0 ou 1 modulo 3 sont des nombres féroces ?
  2. le cas ou U est divisible par 3
  3. les modulos 9 (mais Z/9Z n’est pas un corps, ça va peut-être changer des choses).
  C’est assez pour ce soir :-)

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 22:57, par olivier

  Il fallait lire
  1. la réciproque : si U n’est pas divisible par 3, est-ce que tous les entiers congrus à 0 ou U modulo 3 sont des nombres féroces ?

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 21:43, par drai.david

  Si on appelle $n$ le nombre qui vaut 2020 dans le problème d’origine, voici tous les résultats pour $n$ allant de 1 à 13 :
  Pour $n=$1 et 7 : $m\not\equiv 2\left [ 3 \right ]$
  Pour $n=$2, 5 et 11 : $m\not\equiv 1\left [ 3 \right ]$
  Pour $n=$3 : $m\not\equiv 6\left [ 9 \right ]$
  Pour $n=$4 : $m\in \left \{ 1;3;4;6 \right \}\cup \left \{ k\geq 9 , k\not\equiv 2\left [ 3 \right ] \right \}$
  Pour $n=$6 : $m\in \left \{ 2;4 \right \}\cup \left \{ k\geq 6 , k\not\equiv 3\left [ 9 \right ] \right \}$
  Pour $n=$8 : $m\in \left \{ 2 \right \}\cup \left \{ k\geq 5 , k\not\equiv 1\left [ 3 \right ] \right \}$
  Pour $n=$9 : $m\geq 1$
  Pour $n=$10 et 13 : $m\geq 3$ et $m\not\equiv 2\left [ 3 \right ]$
  Pour $n=$12 : $m\geq 2$ et $m\not\equiv 6\left [ 9 \right ]$

  Donc, pour résumer, on a, pour $m$ est suffisamment grand :

  • si $n \equiv 1 \left [ 3 \right ]$, alors $m\not\equiv 2\left [ 3 \right ]$ ;
  • si $n \equiv 2 \left [ 3 \right ]$, alors $m\not\equiv 1\left [ 3 \right ]$ ;
  • si $n \equiv 3 \left [ 9 \right ]$, alors $m\not\equiv 6\left [ 9 \right ]$ ;
  • si $n \equiv 6 \left [ 9 \right ]$, alors $m\not\equiv 3\left [ 9 \right ]$ ;
  • et si $n \equiv 0 \left [ 9 \right ]$, alors à partir d’un certain rang, tout entier $m$ est féroce.

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 22:02, par olivier

  Je regarde les deux premiers cas
  si n≡1[3], alors m≢2[3] ;
  si n≡2[3], alors m≢1[3] ;
  Ils vont dans le sens de ce que j’ai écrit. Ouf ! c’est rassurant !
  Les autres cas font partie de ce que je regarderai demain ou plus tard !
  Ils fourniront un bon guide ! Merci !
  Bonne soirée, David !

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 6 septembre à 07:56, par olivier

  Bon dimanche matin !
  Je regarde vos 3e et 4e cas (où votre n est mon U)
  Conjecture 3 : si n≡3[9], alors m≢6[9] ;
  Conjecture 4 : si n≡6[9], alors m≢3[9]
  On peut prouver ces deux conjectures :
  Modulo 9, et non plus modulo 3, on a toujours (cf. mon message précédent)
  (k-1)m+ku=0
  dans mes notations, la 3e conjecture correspond à u = 3 (dans Z/9Z)
  Examinons ce cas
  (k-1)m+3k=0
  et voyons si m peut être égal à 6
  on aurait alors
  6(k-1)+3k=0 soit 9k=6
  Mais 9k = 0 (modulo 9) donc ce n’est pas possible
  Voyons maintenant u=6 et m=3
  on aurait alors
  3(k-1)+6k=0 soit 9k=6 donc 0=6
  C’est encore impossible
  Pour chaque u dans Z/9Z (de 0 à 8), j’ai produit le tableau des valeurs de la fonction qui à (k, m) de (Z/9Z)² associe (k-1)m+ku,
  Il n’y a hélas pas d’autres déductions faisables modulo 9 que celle que vous avez intuitées.
  (Remarque : ces tableaux indiquent aussi des valeurs permises et interdites pour k)
  Donc à la finale :
  si U≡1[3], alors M≢2[3] ;
  si U≡2[3], alors M≢1[3] ;
  si U≡3[9], alors M≢6[9] ;
  si U≡6[9], alors M≢3[9] ;
  Il faudrait maintenant étudier les réciproques et le cas U≡0[9]
  Bonne journée !

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• Septembre 2020, 1er défi

  le 5 septembre à 21:45, par drai.david

  Lire « Pour $m$ suffisamment grand » dans le message précédent !

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