Un défi par semaine

Septembre 2020, 3e défi

Le 18 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 38

Nous dirons qu’un nombre entier positif $n$ est parent du nombre à deux chiffres $ab$ si son chiffre des unités est $b$ et si ses autres chiffres sont différents de $0$ et que leur somme est $a$.

Par exemple, les parents de $31$ sont $31$, $121$, $211$ et $1111$.

Combien de nombres à deux chiffres sont diviseurs de tous leurs parents ?

Solution du 2e défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : $192$ diviseurs.

Notons que
\[ N=23(23^4-1)=23(23^2+1)(23^2-1)=23(23^2+1)(23+1)(23-1). \]

La décomposition en nombres premiers de $N$ est donc :
\[\begin{eqnarray*} N & = & 23\times 530 \times 24\times 22\\ & = & 23\times (2\times 5\times 53)\times (2^3\times 3)\times (2\times 11)\\ & = & 2^5\times 3\times 5\times 11\times 23\times 53. \end{eqnarray*}\]

Le nombre de diviseurs de $N$ est donc $6\times 2^5=192$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Septembre 2020, 3e défi

    le 18 septembre à 10:33, par Sidonie

    On a tout d’abord les nombres de 10 à 19 qui n’ont qu’un seul parent, eux mêmes.

    La différence entre un autre nombre et sont plus petit parent différent de lui est toujours 90. On obtient alors les 3 autres diviseurs de 90 : 30, 45 et 90 dont on voit aisément qu’ils conviennent.

    Donc 13 nombres possibles.

    Répondre à ce message
    • Septembre 2020, 3e défi

      le 18 septembre à 14:22, par Niak

      « on voit aisément qu’ils conviennent »

      Oui, par exemple (simplement pour compléter) en utilisant les critères de divisibilité :
      - par $3$ (et $10$ évidemment) pour $30=3\times10$ ;
      - par $9$ (et $5$, assez trivial également) pour $45=5\times9$ ;
      - par $9$ (et $10$ toujours) pour $90=9\times10$.

      Répondre à ce message

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