Un défi par semaine

Septembre 2021, 2e défi

Le 10 septembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 36

$1000$ nombres réels différents de zéro et de $1$ sont placés sur le contour d’un cercle et peints alternativement en blanc et en noir. Chaque nombre noir est la somme de ses deux nombres voisins. Chaque nombre blanc est le produit de ses deux nombres voisins. Quelles sont les valeurs possibles de la somme des $1000$ nombres ?

Solution du 1er défi de septembre :

Enoncé

La réponse est : six.

La décomposition en produit de facteurs premiers de $1225$ est $5^2\times 7^2$.

Tout nombre à quatre chiffres dont le produit des chiffres vaut $1225$ contient donc deux fois le chiffre $5$ et deux fois le chiffre $7$.

Combien existe-t-il de tels nombres ? Il suffit de choisir les deux emplacements du chiffre $5$ parmi les quatre emplacements possibles (les deux chiffres $7$ devant alors prendre les deux places restantes).

Cela peut se faire de ${4 \choose 2}=6$ manières différentes. Il y a donc six nombres vérifiant la propriété.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

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  • Septembre 2021, 2e défi : relations entre sommes des N et B / somme Nk + Nk+2

    le 17 septembre 2021 à 23:10, par ArnoMat

    Bonjour,

    On peut arriver au résultat en établissant que la somme des nombres noirs est double de celles des blancs, puis que la somme d’un couple noir [ Nk, Nk+2 ] vaut 1. Pour arriver à 250 + 125 = 375.

    Répondre à ce message

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