Un défi par semaine

Septembre, 3ème défi

19 septembre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 38 :

Trouver tous les nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$, tels que

$a+b+c+d = 20$

$ab+ac+ad+bc+bd+cd = 150.$

Solution du 2ème défi de Septembre

Enoncé

La réponse est $~336$.

Appelons $x$ le numéro de la maison d’Anne. Alors Anne a obtenu $6x$ ou $7x$, puis Jean a eu $6x+6$, $6x+7$, $7x+6$ ou $7x+7$, et finalement Tania a obtenu $6x$, $6x-1$, $6x+1$, $7x$, $7x-1$ ou $7x+1$. Comme le résultat de Tania est égal à $~2015$, le nombre $x$ est égal à $~2014$, $~2015$ ou $~2016$ divisé par $~6$ ou $~7$. De ces trois nombres, seul $~2016$ est divisible par $~6$ ou par $~7$, et on a

$\frac{2016}{6}=336,$ $\frac{2016}{7}=288.$

Par conséquent, le numéro de la maison d’Anne est $~336$ ou $~288$. Or $~288$ est impossible puisqu’aucun de ses chiffres n’est la somme des deux autres, au contraire de $~336$, puisque $~6$ est la somme $3+3$.
Donc Anne habite au numéro $~336$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Septembre, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Une fibration de Seifert, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Septembre, 3ème défi

    le 19 septembre 2014 à 08:43, par Lina

    Une solution relativement facile à trouver, et, avec un peu d’astuce, on peut démontrer qu’elle est unique.

    Répondre à ce message
  • Septembre, 3ème défi

    le 23 septembre 2014 à 08:54, par Lina

    Démonstration algébrique

    x,y,z sont les réels définis par :

    a+b=10+x ; c+d=10-x ; (a+b)(c+d)=100-x²

    a+c=10+y ; b+d=10-y ; (a+c)(b+d)=100-y²

    a+d=10+z ; b+c=10-z ; (a+d)(b+c)=100-z²

    en additionnant membre à membre les 3 dernières égalités, on obtient, après développement,

    2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=300-(x²+y²+z²) et donc x²+y²+z²=0

    x=0 ;y=0 ;z=0 (seule possibilité) donne a=b=c=d=5

    Répondre à ce message
  • Septembre, 3ème défi

    le 23 septembre 2014 à 09:07, par Lina

    Démonstration analytique

    Les valeurs étant permutables on peut supposer a>=b>=c>=d

    f est la fonction de 3 variables a,b et c qui calcule, dans les conditions fixées ci-dessus, la valeur de ab+ac+ad+bc+bd+cd avec d=20-(a+b+c)

    f(a,b,c)=20(a+b+c)-(a²+b²+c²)-(ab+ac+bc)

    les dérivées partielles en a,b et c sont 20-2a-b-c (le 2 circulant entre a,b et c). Elles s’annulent en (5,5,5) et les dérivées secondes sont toutes strictement négatives (-2 ou -1).

    f(5,5,5)=150 est l’unique maximum de f

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Ana Rechtman

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