Enunciado

La respuesta es $~a=b=c=d=5$.

Como $~a+b+c+d=20$ y $~ab+ac+ad+bc+bd+cd = 150$, se obtiene que

$400=(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2 \cdot 150,$

de donde $~a^2+b^2+c^2+d^2=100$.
Por otra parte, se tiene que

$(a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2$

$= 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

$= 3\times100-2\times150 =0$.

Como $(x-y)^2$ es positivo o nulo para cualquier par de números reales $~x , y$, necesariamente se tiene

$a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,$

y en consecuencia $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.