Un desafío por semana

Septiembre 2014, cuarto desafío

Le 26 septembre 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 30 septembre 2014
Article original : Septembre 2014, 4ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 39 :

Sea $S$ un sub-conjunto de $\{1, 2, \dots, 9\}$ tal que todas las sumas de dos elementos de $S$ sean distintas.
¿Cuál es el número máximo de elementos que puede haber en $S$ ?

Solución del tercer desafío de septiembre

Enunciado

La respuesta es $~a=b=c=d=5$.

Como $~a+b+c+d=20$ y $~ab+ac+ad+bc+bd+cd = 150$, se obtiene que

$400=(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2 \cdot 150,$

de donde $~a^2+b^2+c^2+d^2=100$.
Por otra parte, se tiene que

$(a-b)^2 + (a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2$

$= 3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

$= 3\times100-2\times150 =0$.

Como $(x-y)^2$ es positivo o nulo para cualquier par de números reales $~x , y$, necesariamente se tiene

$a-b=a-c=a-d=b-c=b-d=c-d=0,$

y en consecuencia $a=b=c=d=\frac{20}{4}=5$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’Una fibración de Seifert’’, por Jos Leys.

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