Enunciado

La respuesta es $~12$ puntos.

Cada par de circunferencias se corta en $~0$, $1$ o $2~$ puntos. El número máximo de puntos de intersección entre los cuatro circunferencias es obtenido cuando no hay ningún punto donde se corten más de dos a la vez, y cuando cada par se corta en $~2$ puntos.
Como hay $\binom{4}{2}$ pares de circunferencias, ese número es inferior o igual a $2\cdot\binom{4}{2}=12$. Por otra parte, la figura muestra que es posible dibujar cuatro circunferencias y obtener $~12$ puntos de intersección.