Un desafío por semana

Septiembre 2015, cuarto desafío

Le 25 septembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 25 septembre 2015
Article original : Septembre 2015, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 39 :

Tres números primos tienen las siguientes formas : $AA$, $BAB$ y $AAAC$. Sabiendo que cada letra representa un dígito diferente, ¿cuáles son los posibles valores de $B$ ?

Solución del tercer desafío de septiembre :

Enunciado

La respuesta es $(1,y)$, $(x,1)$ y $\left(x, \frac{1}{x}\right)$, con $x$ e $y$ distintos de cero.

Notemos que $x\neq 0$ e $y\neq 0$. Sumando $1$ a cada lado de la ecuación y factorizando obtenemos :

$xy-x-y+1 = \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1$

$(x-1)(y-1) = \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1$

$xy(x-1)(y-1) = xy\left(\frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1\right)$

$xy(x-1)(y-1) = 1-y-x+xy$

$xy(x-1)(y-1) = (x-1)(y-1)$

$(xy-1)(x-1)(y-1) = 0.$

Por lo tanto, $x = 1$, $y = 1$ o $xy = 1$.

Si $x=1$, entonces $(1, y)$ es una solución para todo número real $y$ distinto de cero. Si $y = 1$, $(x, 1)$ es una solución para todo número real $x$ distinto de cero. Si $xy=1$, entonces $y=\frac{1}{x}$ y la soluciones son los pares $\left(x, \frac{1}{x}\right)$ para todo número real $x$ distinto de cero.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - AQUARIAGIRL1970 / SHUTTERSTOCK

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