Enunciado

La respuesta es $(1,y)$, $(x,1)$ y $\left(x, \frac{1}{x}\right)$, con $x$ e $y$ distintos de cero.

Notemos que $x\neq 0$ e $y\neq 0$. Sumando $1$ a cada lado de la ecuación y factorizando obtenemos :

$xy-x-y+1 = \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1$

$(x-1)(y-1) = \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1$

$xy(x-1)(y-1) = xy\left(\frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+1\right)$

$xy(x-1)(y-1) = 1-y-x+xy$

$xy(x-1)(y-1) = (x-1)(y-1)$

$(xy-1)(x-1)(y-1) = 0.$

Por lo tanto, $x = 1$, $y = 1$ o $xy = 1$.

Si $x=1$, entonces $(1, y)$ es una solución para todo número real $y$ distinto de cero. Si $y = 1$, $(x, 1)$ es una solución para todo número real $x$ distinto de cero. Si $xy=1$, entonces $y=\frac{1}{x}$ y la soluciones son los pares $\left(x, \frac{1}{x}\right)$ para todo número real $x$ distinto de cero.