Un desafío por semana

Septiembre 2015, tercer desafío

Le 18 septembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 18 septembre 2015
Article original : Septembre 2015, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 38 :

Determinar todos los pares de números reales $(x,y)$ tales que

$xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}+x+y.$

Solución del segundo desafío de septiembre :

Enunciado

La respuesta es $288\,\mbox{cm}^2$.

En la siguiente figura hemos trazado dos rectas paralelas a los lados verdes del rectángulo, dejando $12\,\mbox{cm}$ de distancia entre las rectas y los lados verdes, y $12\,\mbox{cm}$ entre ellas. Por otra parte, hemos trazado una linea paralela a los lados rojos que pasa por los puntos medios de los lados verdes.

PNG - 18.2 ko

Estas rectas dividen el rectángulo en $6$ cuadrados iguales de lado $12\,\mbox{cm}$. Consideremos los dos del centro. Todos los puntos al interior de estos cuadrados están a más de $12\,\mbox{cm}$ de los lados verdes, y su distancia a los lados rojos es menor o igual a $12\,\mbox{cm}$, por lo que deben pintarse de rojo.

En los otros $4$ cuadrados, tracemos las diagonales como lo indica la figura de abajo.

PNG - 20.2 ko

Es claro ahora que las partes coloreadas de estos $4$ cuadrados están más cerca de los lados verdes, mientras que las partes en blanco están más cerca de los lados rojos. Así, debemos calcular el área de estos cuatro triángulos coloreados. Como cada uno de estos es la mitad de un cuadrado de área $(12\times 12)\,\mbox{cm}^2$, concluimos que el área verde total es de

$4\left(\frac{12 \times 12}{2}\right) =288\,\mbox{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2015, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - AQUARIAGIRL1970 / SHUTTERSTOCK

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