Un desafío por semana

Septiembre 2016, primer desafío

Le 2 septembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 2 septembre 2016
Article original : Septembre 2016, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 36 :

Encontrar todos los números enteros positivos $n$ tales que $n^2-10n+23$,
$n^2-9n+31$ y $n^2-12n+46$ sean números primos.

Solución del cuarto desafío de agosto :

Enunciado

La respuesta es : $2240$ y $2239$.

Una condición del problema es que la diferencia entre un número de $n$ dígitos
y uno de $n-1$ dígitos sea $2016$, por lo que $n \geq 4$.

Si $n=5$, la menor diferencia que podemos obtener con dos números verificando la condición del problema es $9000$, la cual se obtiene cuando el número de $5$ dígitos es $10\, 000$ y el de $4$ dígitos es $1 000$. Para $n>5$, la condición ya no puede ser satisfecha. Por lo que tenemos necesariamente $n=4$.

Sea ${abcd}=10^3 a + 10^2 b + 10c + d$ el número formado por los dígitos $a, b,c$ y $d$. Queremos que :

$10^3 a + 10^2 b + 10c + d = 10^2 a + 10b + c + 2016$

$= 10^3 \times 2+ 10^2 a + 10(b+1) + (c+ 6).$

Por lo tanto, $a=2$, $a=b$, y

$10c+d = 30+(c+6)$

$9c = 36-d.$

Luego, $d$ vale $0$ o $9$, y deducimos que los números $2240$ y $2239$ son lo que satisfacen la condición del problema.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2016, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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