Un desafío por semana

Septiembre 2016, quinto desafío

El 30 septiembre 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 30 septiembre 2016
Artículo original : Septembre 2016, 5e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 40 :

Consideremos cinco números ordenados de menor a mayor: $a < b< c < d < e $. Después de hacer las $10$ posibles adiciones de dos de estos números, notamos que las tres menores sumas son $32$, $36$ y $37$ mientras que las dos mayores son $48$ y $51$. ¿Cuál es es valor de $e$?

Solución del cuarto desafío de septiembre:

Enunciado

La respuesta es $135$.

La sucesión de números escritos en la pizarra es creciente y el mayor valor posible para cada uno de estos números se obtiene duplicando el valor anterior. Observemos que si dos números sucesivos son pares, entonces todos los términos siguientes también lo serán. Por lo tanto, como el décimo número es impar, Juan no puede escribir sucesivamente dos números pares.

Además, como el primer número escrito ($1$) es impar, Jean no puede escribir alternativamente un número par y uno impar sin que el décimo número sea par. Se deduce de esto que, en algún momento, Juan debe escribir dos números impares sucesivos, y como busca el mayor número final posible, solo puede hacer esto una vez. Finalmente, observemos que el resultado final no depende del momento en el que decide hacer esta repetición:

1 2 3 5 10 15 30 45 90 135

1 2 3 6 9 15 30 45 90 135

1 2 3 6 9 18 27 45 90 135

1 2 3 6 9 18 27 54 81 135.

El mayor número impar que puede obtener es entonces $135$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Septiembre 2016, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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