Enunciado

La respuesta es $135$.

La sucesión de números escritos en la pizarra es creciente y el mayor valor posible para cada uno de estos números se obtiene duplicando el valor anterior. Observemos que si dos números sucesivos son pares, entonces todos los términos siguientes también lo serán. Por lo tanto, como el décimo número es impar, Juan no puede escribir sucesivamente dos números pares.

Además, como el primer número escrito ($1$) es impar, Jean no puede escribir alternativamente un número par y uno impar sin que el décimo número sea par. Se deduce de esto que, en algún momento, Juan debe escribir dos números impares sucesivos, y como busca el mayor número final posible, solo puede hacer esto una vez. Finalmente, observemos que el resultado final no depende del momento en el que decide hacer esta repetición :

1 2 3 5 10 15 30 45 90 135

1 2 3 6 9 15 30 45 90 135

1 2 3 6 9 18 27 45 90 135

1 2 3 6 9 18 27 54 81 135.

El mayor número impar que puede obtener es entonces $135$.