Enunciado

La respuesta es $n=3$ y $n=7$.

Supongamos que $n^2-12n+46$ es un número primo diferente de $2$, es decir, impar. En este caso, como $2$ divide a $12$ y $46$, $n^2$ no puede ser par, por lo que $n$ tampoco puede serlo. Luego, o bien $n^2-12n+46=2$, o $n$ es impar. Si tomamos el primer caso, obtenemos:

$n^2-12n+44 = 0$

$n = \frac{12\pm \sqrt{144-4\times 44}}{2}.$

Estas soluciones no son enteras, por lo que solo nos queda el caso donde $n$ es impar. El número $n^2-10n+23$ es entonces par, y por tanto igual a $2$, pues este es el único primo par. El entero $n$ verifica entonces:

$n^2-10n+23 = 2$

$n^2-10n+21 = 0$

$(n-3)(n-7) = 0.$

Los valores posibles para $n$ son necesariamente $3$ y $7$. Al reemplazar estos valores en la tres expresiones iniciales obtenemos tres números primos: para $n=3$, los tres primos en cuestión son $2$, $13$ y $19$, mientras que para $n=7$ obtenemos $2$, $11$ y $17$.