Un desafío por semana

Septiembre 2016, segundo desafío

Le 9 septembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 9 septembre 2016
Article original : Septembre 2016, 2e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 37 :

El mapa de un museo muestra el número de obras en exhibición en cada sala. Luis quiere visitar $6$ de de estas salas. ¿Cuál es el máximo número de obras que podrá ver ?

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Solución del primer desafío de septiembre :

Enunciado

La respuesta es $n=3$ y $n=7$.

Supongamos que $n^2-12n+46$ es un número primo diferente de $2$, es decir, impar. En este caso, como $2$ divide a $12$ y $46$, $n^2$ no puede ser par, por lo que $n$ tampoco puede serlo. Luego, o bien $n^2-12n+46=2$, o $n$ es impar. Si tomamos el primer caso, obtenemos :

$n^2-12n+44 = 0$

$n = \frac{12\pm \sqrt{144-4\times 44}}{2}.$

Estas soluciones no son enteras, por lo que solo nos queda el caso donde $n$ es impar. El número $n^2-10n+23$ es entonces par, y por tanto igual a $2$, pues este es el único primo par. El entero $n$ verifica entonces :

$n^2-10n+23 = 2$

$n^2-10n+21 = 0$

$(n-3)(n-7) = 0.$

Los valores posibles para $n$ son necesariamente $3$ y $7$. Al reemplazar estos valores en la tres expresiones iniciales obtenemos tres números primos : para $n=3$, los tres primos en cuestión son $2$, $13$ y $19$, mientras que para $n=7$ obtenemos $2$, $11$ y $17$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2016, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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