Enunciado

La respuesta es $9$ lados.

Un polígono es regular si todos sus lados tiene el mismo largo y todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. Supongamos que el polígono tiene $n$ lados. Sea $O$ el centro del polígono y unamos $O$ con cada uno de los vértices $A$, $B$, $C$, $D$, etc.

Como el polígono es regular, $AB=BC$ y el triángulo $ABC$ es isósceles. Por otra parte, la suma de los ángulos interiores del polígono vale $n \times 180^\circ - 360^\circ$. Por lo tanto, el ángulo $\angle ABC$ mide

$\frac{n \times 180^\circ - 360^\circ}n = \frac{n-2}n \times 180^\circ.$

Como $\angle ACD = 120^\circ$, tenemos

$\angle BCA = \angle BAC = \frac{n-2}n \times 180^\circ - 120^\circ.$

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^\circ$, por lo que

$180^\circ = 2\left( \frac{n-2}n\times 180^\circ -120^\circ\right) + \frac{n-2}n\times 180^\circ$

$420^\circ = 3 \times \frac{n-2}n \times 180^\circ$

$\frac{7}{9} = \frac{n-2}{n}$

$n = 9,$

y, por lo tanto, el polígono tiene $9$ lados.