Un desafío por semana

Septiembre 2017, primer desafío

Le 1er septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 1er septembre 2017
Article original : Septembre 2017, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 35 :

Una caja tiene $10$ bolitas numeradas del $1$ al $10$. Al sacar $5$ bolitas al azar y ordenarlas de manera creciente según su número, ¿cuál es la probabilidad de que la penúltima bola tenga el número $8$ ?

Solución del cuarto desafío de agosto :

Enunciado

La respuesta es $a-b=3$.

Como $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, tenemos

$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}.$

Además, como $15 > a > b > 0$, el numerador $a^2 + ab + b^2$ es menor o igual a $14^2 + 14 \times 13 + 13^2 = 547$.

La fracción $\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}$ no necesariamente es irreducible. Lo único que sabemos es que existe un entero $n >0$ tal que $a^2 + ab + b^2 = 73 \times n$ y $(a-b)^2 = 3 \times n$. Como $a^2 + ab + b^2 \leq 547$, tenemos $n < 8$. La única manera en la que $3 \times n$ es un cuadrado es con $n = 3$, de lo que obtenemos $(a-b)^2 = 9$ y, por lo tanto, $a-b = 3$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2017, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

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