Enunciado

La respuesta es $a-b=3$.

Como $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, tenemos

$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}.$

Además, como $15 > a > b > 0$, el numerador $a^2 + ab + b^2$ es menor o igual a $14^2 + 14 \times 13 + 13^2 = 547$.

La fracción $\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2}$ no necesariamente es irreducible. Lo único que sabemos es que existe un entero $n >0$ tal que $a^2 + ab + b^2 = 73 \times n$ y $(a-b)^2 = 3 \times n$. Como $a^2 + ab + b^2 \leq 547$, tenemos $n < 8$. La única manera en la que $3 \times n$ es un cuadrado es con $n = 3$, de lo que obtenemos $(a-b)^2 = 9$ y, por lo tanto, $a-b = 3$.