Un desafío por semana

Septiembre 2017, segundo desafío

Le 8 septembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 8 septembre 2017
Article original : Septembre 2017, 2e défi Voir les commentaires
Lire l'article en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 36 :

¿Cuántos números formados por diez dígitos distintos $abcdefghij$ cumplen $a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9$ ?

Solución del primer desafío de septiembre :

Enunciado

La respuesta es $\frac{5}{18}$.

Para que la penúltima bola tenga el número $8$, es necesario que la bola número $9$ o la número $10$ estén entre las que sacamos de la caja, pero no pueden estar ambas, pues de lo contrario la bola $8$ no será la penúltima. Vamos a calcular la probabilidad de que las bolas $8$ y $9$ estén en el conjunto de las $5$ bolas extraídas sin que lo esté la bola número $10$. Supongamos que ya elegimos las bolas $8$ y $9$, nos quedan entonces $8$ bolas en la caja. Nos falta sacar tres otras bolas de la caja y contar de cuántas maneras es posible sacar estas tres sin sacar la número $10$. Haciendo un cálculo de combinatoria obtenemos : $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=35$ conjuntos de tres bolas que no contienen el número $10$, es decir, $35$ conjuntos de cinco bolas con contienen el número $8$ y número $9$ pero no el número $10$. Del mismo modo, existen $35$ conjuntos de cinco bolas que contienen el número $8$ y el número $10$ pero no el número $9$. Por lo tanto, la probabilidad que estamos buscando es :

$\frac{2\times35}{\binom{10}{5}}=\frac{70}{\frac{10!}{5!5!}}=\frac{70\times5\times 4\times3\times2}{10\times9\times8\times7\times6}=\frac{5}{18}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

— «Septiembre 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?