Un desafío por semana

Septiembre 2017, tercer desafío

El 15 septiembre 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 15 septiembre 2017
Artículo original : Septembre 2017, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 37:

La figura muestra una parte de un polígono regular. Si el ángulo $\angle ACD$ mide $120^\circ$, ¿cuántos lados tiene el polígono?

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Solución del segundo desafío de septiembre:

Enunciado

La respuesta es $3456$ números.

Notemos primero que hay diez pares de dígitos cuya suma vale $9$: $(0,9)$, $(1,8)$, $(2,7)$, $(3,6)$, $(4,5)$, $(5,4)$, $(6,3)$, $(7,2)$, $(8,1)$ y $(9,0)$.

Como el número tiene $10$ dígitos, tenemos $a \neq 0$, por lo que el par $(a,j)$ puede ser cualquiera de los pares posibles, excepto el primero. Luego, el par $(b,i)$ puede tomar todos los valores posibles excepto $(a,j)$ y $(j,a)$; esto nos da $8$ posibilidades. De la misma manera, tenemos $6$ posibilidades para $(c,h)$, pues los pares $(a,j)$, $(j,a)$, $(b,i)$, $(i,b)$ están ahora excluidos. A continuación, tenemos $4$ posibilidades para $(d,g)$, y finalmente $2$ para $(e,f)$. En total, hay $9\times 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 3456$ números que verifican las condiciones del enunciado.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Septiembre 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ROYALTYSTOCKPHOTO.COM / SHUTTERSTOCK

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