Un desafío por semana

Septiembre 2019, primer desafío

El 6 septiembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 septiembre 2019
Artículo original : Septembre 2019, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 36

Encuentra el entero positivo más pequeño que sea divisible por $999$ pero que no contenga ningún $9$ en sus cifras.

Solución del quinto desafío de agosto:

Enunciado

La respuesta es: $n = 87$.

Supongamos que $n$ sea un número de $m$ cifras.

El número obtenido se puede reescribir como $2\times 10^{m+1} + 10n + 1$, siendo $m$ el número original de cifras decimales de $n$, y se debe cumplir que:
\[ \begin{align*} 2\times 10^{m+1} +10n + 1 &= 33n\nonumber,\\ 2\times 10^{m+1} +1 & = 23n. \end{align*} \]

El miembro izquierdo de esta segunda igualdad es un número cuyas unidades son $1$, y la única posibilidad de que $23n$ termine en un $1$ es que las unidades de $n$ sean $7$.

Pero si $n = 7$, la igualdad no se cumpliría porque $23n = 161$. Forzosamente se tiene pues que $m\geqslant 2$.

Si suponemos que $m = 2$, entonces $n = 10k + 7$ y $k > 0$, por lo que
\[ \begin{align*} 2\times 10^{3} + 1 &=23(10k + 7),\\ 2001 &= 230k + 161,\\ k &= 8. \end{align*} \]

El número $87$ queda bien, puesto que $2871 = 33\times 87$, y si $m > 2$, el número $n$ en cuestión sería forzosamente superior a $87$, de donde tenemos que $n = 87$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Septiembre 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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