Un desafío por semana

Septiembre 2019, segundo desafío

Le 13 septembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 13 septembre 2019
Article original : Septembre 2019, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 37

Encuentra el valor de cada estrella en la multiplicación :
\[ \begin{array}{ccccccc} & & &\star &\star &\star & 4 &\star &\star\\ &\times & & & & & & & 7\\ \hline & & 6 & 7 & 4 & 3 &\star & 5 & 6 \end{array} \]

Solución del primer desafío de septiembre :

Enunciado

La solución es $111\, 888$.

Denotemos $a$ este número. Tenemos
\[ a = 999 b = (1000 - 1)b = 1000b - b. \]

Si $b$ tuviera un dígito, entonces $1000b - b$ se podría escribir como $(b-1)\times 10^3 + 9\times 10^2 + 9\times 10 + (10 - b)$ ; si $b$ tuviera dos dígitos, $100 - b$ tendría solo una cifra y entonces $1000b - b = (b-1)\times 10^3 + 9\times 10^2 + (100 - b)$. En ambos casos, la cifra de las centenas de $1000b - b$ sería $9$. Por consiguiente, $b$ está formado por al menos tres dígitos.

Por otro lado, si $b$ terminara en $0$, entonces podríamos encontrar un número estrictamente inferior sin ningún $9$ simplemente dividiendo por $10$. Supongamos entonces que este no sea el caso.

Además, la cifra de las decenas tampoco puede ser $0$, pues en caso contrario la de $a$ sería un $9$. Finalmente, $b$ no puede terminar en $1$, pues de lo contrario $a$ terminaría en $9$.

Así, el $b$ más pequeño que satisface todas estas condiciones sobre sus dígitos es $112$, y de aquí que $a=999\times 112=111\,888$ no presente ningún $9$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

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