Un desafío por semana

Septiembre 2020, cuarto desafío

Le 25 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 25 septembre 2020
Article original : Septembre 2020, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 39

Queremos cubrir completamente un cuadrado de $23 \times 23\ \mathrm{cm^2}$ con cuadrados de $1\times 1$, $2 \times 2$ y $3 \times 3\ \mathrm{cm^2}$. ¿Cuál es el área mínima de los cuadrados de $1\times 1\ \mathrm{cm^2}$ que hay que utilizar ?

Solución del tercer desafío de septiembre :

Enunciado

Analicemos todos los valores posibles de $a$.

  • Si $a = 1$ y $n$ es pariente de $ab$, entonces la única posibilidad es $n = 1b = b$.
  • Si $a = 2$, los únicos parientes posibles de $2b$ son $11b$ y $2b$. Pero $2b$ debe ser su divisor. Si un número es divisor de dos números, también lo es de su diferencia. Aquí la diferencia entre $2b$ y $11b$ es $90$, así que $2b$ debe ser un divisor de $90$. Sin embargo, no existe ningún divisor de $90$ que sea de la forma $20 + b$, por lo que no hay números parientes en este caso.
  • Si $a\geq 3$, puesto que $ab$ ha de dividir $(a - 3)21b$ y $(a - 3)12b$, también debe dividir su diferencia, que es $1000 (a - 3) + 200 + 10 + b - 1000(a - 3) - 100 - 20 - b = 90$. Las únicas posibilidades para $ab$ tales que $ab\geq 30$ son entonces $30$, $45$ y $90$. Verifiquemos ahora que $30$, $45$ y $90$ dividen a todos sus parientes.

Si $n$ es pariente de $30$, entonces $n = A0$ o $A$ es un entero cuya suma de dígitos es $3$. El número $n$ es entonces múltiplo de $10$ y de $3$, y también de $30$ por consiguiente.

Si $n$ es pariente de $45$, entonces $n = A5$, donde $A$ es un
número cuya suma de sus dígitos es $4$. La suma de los dígitos de $n$ es entonces $9$, lo que implica que es un múltiplo de $9$. Ya que termina en $5$, este número $n$ es igualmente múltiplo de $5$, y por lo tanto $n$ es un múltiplo de $45$.

Si $n$ es pariente de $90$, entonces $n = A0$, donde $A$ es un entero cuya suma de sus dígitos es $9$. Es múltiplo de $9$ y de $10$, así que también lo es de $90$.

Por todo ello, los únicos enteros de dos dígitos que dividen todos sus parientes son $13$ en total, a saber : $10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 45$ y $90$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2020, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

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