Un desafío por semana

Septiembre 2020, tercer desafío

Le 18 septembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 18 septembre 2020
Article original : Septembre 2020, 3e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 38

Diremos que un número entero positivo $n$ es pariente del número de dos dígitos $ab$ si sus unidades son $b$ y si la suma de sus demás dígitos, todos diferentes de $0$, es $a$. Por ejemplo, los parientes de $31$ son $31, 121, 211$ y $1111$.

¿Cuántos números de dos dígitos son divisores de todos sus parientes ?

Solución del segundo desafío de septiembre :

Enunciado

Observemos que
\[ N = 23(23^4 - 1) = 23(23^2 + 1)(23^2 - 1) = 23(23^2 + 1)(23 + 1)(23 - 1). \]

La descomposición en números primos de $N$ es
\[ \begin{align*} N &= 23\times 530 \times 24\times 22\\ &= 23\times (2\times 5\times 53)\times (2^3\times 3)\times (2\times 11)\\ &= 2^5\times 3\times 5\times 11\times 23\times 53, \end{align*} \]
y el número de divisores de $N$ es entonces $6\times 2^5 = 192$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Septiembre 2020, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - EQROY / SHUTTERSTOCK

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