Serie armónica y sabiduría popular

Piste bleue Le 12 octobre 2014  - Ecrit par  Aboubakar Maitournam
Le 2 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Série harmonique et sagesse populaire Voir les commentaires
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Presentamos una analogía entre la divergencia de la serie armónica y algunos proverbios.


Pese a que es un poquito exagerada, la afirmación galileana según la cual ’’la naturaleza está escrita en lenguaje matemático’’ (Galileo, ’’El Ensayador’’, 1623) estableció una relación implícita entre las verdades matemáticas y populares. En especial, según René Descartes en su famosa obra (’’Discurso del método, para conducir bien su razón y buscar la verdad en las ciencias’’, 1637), ’’el buen sentido es la cosa menos compartida en el mundo’’.

El adecuado sentido común está ilustrado en toda sociedad humana mediante máximas y proverbios destinados a enseñar la sabiduría a las personas. Estas máximas y proverbios se encuentran en todas las civilizaciones y en todas las épocas (máximas del griego Esopo, citas latinas, proverbios bíblicos, máximas de François de La Rochefoucauld, de Jean de La Bruyère, fábulas de Jean de La Fontaine, proverbios africanos,...). La máxima o el proverbio es una referencia moral para una sociedad dada, resumida en una expresión sintética. Jean de La Bruyère decía por ejemplo (’’Los caracteres’’, 1688) que ’’[las máximas] son como leyes en la moral’’.

Del mismo modo, un teorema o un objeto matemático es un resumen, una referencia simbólica. Por ejemplo, las
series de Riemann en general, y la serie armónica en particular, son objetos matemáticos de referencia para el estudio de la convergencia de las sumas infinitas de números positivos. Así, como lo veremos a continuación, la serie armónica -objeto eminentemente matemático- es también un símbolo y un tesoro de sabiduría popular. En efecto, ella presenta una analogía con varias citas famosas, como lo explicaremos en la última parte de este texto. Pero antes definamos esta serie.

Definición de la serie armónica

La serie armónica [1] es definida matemáticamente por :
\[\begin{equation} \label{eq1} S=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \cdots \end{equation} \]
$S$ es entonces llamada suma de la serie armónica y para todo entero natural $n \ge 1$, la $n$-ésima suma parcial $S_{n}$ de la serie es definida por :
\[\begin{equation} \label{eq2} S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} + \cdots+\frac{1}{n}. \end{equation} \]
La serie armónica significa, por lo tanto, que se agrega indefinidamente fracciones racionales de la unidad (suma infinita de los inversos de los enteros no nulos).

En el caso en que las sumas parciales de una serie matemática se vuelven cada vez más cercanas a un número finito $l$ cuando $n$ se hace infinitamente grande (tiende hacia el infinito), se dirá que esta serie converge y que su suma es igual a $l$. Por ejemplo :
\[ \sum_{i=0}^{+\infty}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{i}=2. \]
En el caso en que las sumas parciales de una serie en términos positivos sobrepasan todo número positivo tan grande como uno se dé cuando $n$ se vuelve infinitamente grande, se dirá que ella diverge. La propiedad de convergencia o de divergencia de una serie no cambia si se olvida un número finito de términos de esta serie [2].

Los problemas asintóticos o límites, es decir, aquellos para los cuales las cantidades implicadas tienden hacia el infinito (o son prácticamente muy grandes), tienen una importancia constante en matemáticas y en ingeniería, ya que permiten conocer los límites de un fenómeno en el sentido propio del término.

Divergencia de la serie armónica

La serie armónica diverge, como lo probó Nicole Oresme en 1360. Desde entonces se ha descubierto muchas otras pruebas de esta divergencia [Labelle-04]. Por ejemplo, consideremos para $n$ entero $\ge 1$, las sumas parciales de la serie armónica $S_{n}$ definidas en ($\ref{eq2}$) y
\[ S_{2n}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \cdots+\frac{1}{2n}. \]
Supongamos entonces que la serie armónica converge, lo que implicaría que las secuencias de sumas parciales $(S_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ y $(S_{2n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ serían también convergentes, con el mismo límite (que sería aquel de la serie armónica). De ese modo, cuando $n$ tiende al infinito, la diferencia de las dos sumas parciales tendería a cero. Ahora bien,

\[ \begin{eqnarray*} S_{2n}-S_{n} &=& \sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} \\ &=& \Big( (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots + \frac{1}{n})+\frac{1}{n+1} \cdots+\frac{1}{2n}\Big)-\Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\Big) \\ &=& \Big(S_{n}+\frac{1}{n+1} \cdots+\frac{1}{2n}\Big)-S_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}. \end{eqnarray*} \]

Minimizando cada uno de los términos $\dfrac{1}{n+k}$, $k=1, \cdots, n,$ por $\dfrac{1}{2n}$, se tendrá así :
\[\begin{equation} \label{eq33} S_{2n}-S_{n} \ge \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}. \end{equation} \]
En consecuencia, según la ecuación ($\ref{eq33}$), la diferencia de las sumas parciales no puede tender hacia cero. Esto prueba que la serie armónica diverge.

La serie armónica y los proverbios

La serie armónica es un ejemplo emblemático del hecho que una suma de elementos despreciables (las fracciones racionales de la unidad) no siempre es despreciable. En efecto, mientras más aumenta un entero, su inverso (término general de la serie) más disminuye y tiende a $0$.

La divergencia de la serie armónica tiene así una analogía con las máximas y proverbios comunes como :

’’Pequeños arroyos forman grandes ríos’’,

o :

’’Los pequeños granos de arena acumulados forman una montaña’’.

En efecto, el pequeño arroyo o el grano de arena son físicamente subdivisiones despreciables, infinitesimales respectivamente del río o de la montaña. Estos últimos son infinitamente grandes en relación a sus subdivisiones. Sin embargo, la analogía entre la serie armónica y los proverbios de arriba no es exclusiva. En efecto, estos últimos pueden también ser considerados como una formulación del axioma de Arquímedes para el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales.

La interpretación de la quintaesencia de los anteriores proverbios es que con perseverancia sostenida y progresiva uno puede alcanzar grandes logros como ’’mover (o también superar) montañas’’. Un proverbio africano dice :

’’La perseverancia es un talismán para la vida’’.

La serie armónica presenta también una analogía muy fuerte con muchas de las búsquedas espirituales, ya sean cabalísticas, ascéticas o sufíes. En efecto, en las religiones monoteístas, al progresar uno poco a poco (cada pequeño paso es una estación, un crecimiento, un progreso o mahaloth o maqaam [3]) en la austeridad física y moral, se puede tender hacia una unión con Ayn Sof [4], el Infinito, Dios. Refleja también aspectos del budismo, ya que el ideal del budismo es conducir la disciplina al nirvana o aniquilación suprema o fusión con el infinito cósmico.

La serie armónica indica que es posible llegar a su ideal infinito dando pasos que se desvanecen en lo infinitamente pequeño, ¡con tal que uno no deje de avanzar !

Más prosaicamente, y en estos tiempos de austeridad presupuestaria, la serie armónica ilustra también las consecuencias de una suma de pequeños descuidos que pueden causar ’’grandes daños en la cartera’’. De ese modo, si usted descuida las pequeñas fugas de agua de su grifo o si sale de vacaciones dejando encendida la luz, esto puede traducirse a fines de mes en consumos importantes y por lo tanto, en las consecuentes facturas. Al final, de una manera que puede ser sorprendente, a veces una suma de causas cada vez más pequeñas puede tener grandes efectos.

Bibliografía

Wikipedia, Série de Riemann.

Wikipedia, Serie armónica .


J. Labelle, La série harmonique et ses surprises, Bulletin AMQ, Vol. XLIV, No 3, Octobre 2004.

Jean-Paul Allouche, Sommes de séries de nombres réels, Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

Aurélien Alvarez et Michèle Audin, Il y a cent quarante ans : la mort de Galois, Images des Mathématiques, CNRS, 2011.

Petit Larousse illustré, 2011.

Encyclopédia Encarta, Le coin des mots, 2004.

Post-scriptum :

El autor agradece al redactor en jefe de la revista « Images des mathématiques » señor Etienne Ghys, al responsable de la sección « Café des mathématiques » señor Patrick Popescu-Pampu, así como a los relectores Clément Caubel, Fluvial, César Martinez y Gilles Schneller por sus pertinentes sugerencias.

Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Vea también [Labelle-04] y Alvarez y Audin, 2011.

[2Para explicaciones más a fondo acerca de la convergencia y la divergencia de las series, se puede consultar (Allouche, 2010).

[3NdT : ’’Estaciones’’ en la filosofía Sufi.

[4NdT : El Todo Supremo de la Cábala.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Serie armónica y sabiduría popular» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Wikimedia Commons
Author : Alex Mak
Date : 2 Mai 2009

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